34 



2) De kendte Differentialformer for Fladen: 



Edu^ + 2 Fdudv + Gdv^-, 

 Drfu2 ^ 2 Ddudu + D"du-, 



er overalt forskellige fra Nul, altsaa 



EG— F- ^ 0, DD"—D'^ z^ 0. 



ox ou 



Heraf følger nemlig for det første, at man ikke kan have ö- = 0> f= O, 



dz 



^ =- O samtidig, og analogt for den anden Parameter v, samt at man heller ikke 



OU 



kan have 



ÔX dy dz dx dy dz 



eu ' du du ^ Tv dv Fv 



hvorved man indser, at hver af Parameterkurverne har modsat retlede Halvtan- 

 genter, og at de to Parameterkurver, der udgaar fra Punktet (u, v) ikke kan have 

 samme Tangent. At Parameterkurverne inden for tilstrækkelig snævre Omraader 

 er uden Dobheltpunkter, følger af, at Tangenten varierer kontinuert. At 2 Para- 

 meterkurver af modsat Art inden for et tilstrækkeligt lille Fladeomraade højst har 

 eet Punkt fælles, følger deraf, at man ellers maatte have et Punkt P paa Fladen, 

 i Nærheden af hvilket 2 Parameterkurver havde 2 Skæringspunkter, saaledes, at 

 man ved en Grænseovergang kunde faa Parameterkurverne til at røre hinanden i 

 P, idet de to Skæringspunkter samtidig kunde konvergere mod P. 



Af disse Betragtninger følger, at Fladen i Omegnen af ethvert af sine Punkter 

 er en simpel Flade. 



Dernæst kan man vise, at Betingelsen 



DD"—D'2 ^ O 



udelukker Ophobning af Punktpar med indbyrdes parallele Tangentplaner i Om- 

 egnen af samme Punkt P paa Fladen. En saadan Ophobning maatte nemlig med- 

 føre, at der i P eksisterede en Retning du : di\ for hvilken Diflerentialerne af Nor- 

 malens Retningscoss. X, Y, Z var Nul, altsaa: 



dJC dY dj_ J dX 8_Y^ dj 

 1) enten ^ : ^^ = ^^ ~ dv - dv ' dv 



o, n SX dV dZ „ 



eller de analoge Ligninger for Parameteren o. 



Men disse Betingelser vilde i alle Tilfælde medføre 



DD" = D'2. 



