35 



Endelig ses det, at de til Fladens Frembringerkurver svarende Kurver i den 

 sfæriske Afbildning opfylder de i 1 nævnte Betingelser (inden for tilstrækkelig sniaa 

 Fladeomraader). De sfæriske Billeder af Parameterkurverne fremstilles nemlig ved 



X = X, y = Y, z = Z, 



for benholdsvis n oa v lis en Konstant, og da -„ > ^, 3— ikke samtidig kan være 



" ° OU OU OU 



Nul, lise saa lidt som .-> -^> . kan være det, ses det at de nævnte sfæriske Kur- 

 ° ov cv ov 



ver maa have overalt modsat rettede kontinuert varierende Halvtangenter. 



At Fladen har en bestemt Flexion langs hver Frembringerkurve, ses ved, at 



man opskriver Udtrykket for Flexionen. For Parameterkurven v = konst. har 



man Flexionen fa bestemt ved: 



-, \Wi) + yell) ^ Vdu ) 



III ^= 



(du) + (du) + (ou) 



da nu DD"^D'^ -^r. O, kan Tælleren i dette Udtryk ikke blive O, og da EG—F' i=. O, 

 kan Nævneren heller ikke blive O, saa at /„ hverken kan blive O eller co. Herved 

 ses det da, at Fladen under de nævnte Betingelser inden for tilstrækkelig smaa 

 Omraader er en Normflade. 



39. Har man omvendt opgivet en Normflade, vil man altid kunne finde en 

 saadan analytisk Fremstilling af Fladen, al ovennævnte Betingelser er opfyldt. Man 

 vælger et retvinklet Koordinatsystem .ri/z, hvor z-Aksen ikke er parallel med nogen 

 Tangentplan til Fladen, og hvor ingen af Hovedtangenterne er parallele med xz- 

 Planen eller med yz-Planen, hvilken sidste Betingelse paa Grund af Hovedtangen- 

 ternes kontinuerte Variation i hvert Fald altid kan opfyldes inden for tilstrækkelig 

 smaa Fladeomraader. I dette Koordinatsystem vil det betragtede Fladeomraade 

 kunne fremstilles ved en Ligning af Formen z = / (.r, y), og plane Snit parallele 

 med xz-Planen og yz-Planen kan benyttes som Frembringerkurver; da disse har 



Ô^z ô'-z 



kontinuert varierende Krumning {1^ 00), ses det straks, at r = ^— , og / = ^—5 er 



endelige, bestemte, kontinuert varierende Funktioner af (a;, y). Endvidere kan man 

 bevise, at det samme vil gælde om 



^i|) Hl) ' 



^ ~ dg dx ' 



lad nemlig P og P^ være to Punkter paa en af Frembringerkurverne, f. Eks. paa 

 en Kurve beliggende i en Plan parallel med yz-Planen, og lad Tangentplanerne i 



5* 



