38 



Ingen Hovedtangentkurve kan være lukket; ellers vilde den skæres af Hoved- 

 tangentkurver af den anden Art i mere end eet Punkt. 



42. Hver Hovedtangent deles af sit Røringspunkt P i 2 Halv-Hovedtangenter, 

 „een paa hver Side af Fladen"; Betydningen af sidstnævnte Udtryk fastlægges nøj- 

 agtig ved Valg af en positiv Retning paa en bestemt Fladenormal, og ved kon- 

 tinuert Variation af denne med det tilhørende Punkt paa Fladen fastlægges paa 

 denne Maade en positiv Normal for ethvert Punkt af Fladen. Dersom der nu paa 

 en Halv-Hovedtangenl i Punktet P findes et Punkt Pj saaledes, al hvert Punkt af 

 Liniestykket PP^ ligger paa en positiv Halvnormal til Fladen, siger man at ved- 

 kommende Halvtangent ligger paa den positive Side af Fladen, i modsat Fald paa 

 den negative Side. Lad nu p og q være 2 Halv-Hovedtangenter med Rørings- 

 punkter P og Q, og lad os antage, at de hører til Hovedtangentkurver af samme 

 Art. Hvis det da er muligt ved kontinuert Variation paa Fladen at bringe P over 

 i Q, samtidig med at Halvtangenten p, der under Variationen stadig skal vedblive 

 at være Halv-Hovedtangent, kommer over i q, saa maa p og q ligge paa samme 

 Side af Fladen; i modsat Fald vilde man nemlig kunne afsætte en konstant Længde 

 s paa den variable Halvlinie ud fra dennes Endepunkt saaledes, at det andet Ende- 

 punkt af denne Længde ved Overgangen fra p til q vilde gaa fra den ene Side af 

 Fladen over paa den anden. Og da dette skulde gælde for en vilkaarlig lille Værdi 

 £, maatte der allsaa findes en Halv-Hovedtangent, som foruden sit Berøringspunkt 

 havde endnu et Punkt fælles med Fladen, hvilket strider imod Forudsætningen. 



43. Af denne lille Undersøgelse vil man nu kunne slutte, at der ikke paa 



Fladen kan 



findes nogen 



plan 



Kurve A-, der frembyder et Ophob- 

 ningspunkt R for Vendepunkter. I 

 vilkaarlig Nærhed af R vilde der nemlig 

 paa k altid kunne findes 2 Vendepunkter 

 P og Q (Fig. 14), hvor Halvtangenterne p 

 og 7, svarende til et bestemt Omløb paa 

 Kurven, dannede en Vinkel s med hin- 

 anden, som altid kunde bringes under en 

 vilkaarlig opgiven positiv Værdi, medens 

 disse Halvtangenter dog samtidig var be- 

 liggende paa forskellig Side af k, altsaa og- 

 saa paa modsat Side af Fladen. Dette er 

 imidlertid efter ovenstaaende Undersøgelse 

 umuligt. Og den Betragtning, vi her har 

 anstillet, kan, som man straks ser, føres 

 endnu et Skridt videre, idet man kan op- 

 stille følgende Resultat : Naar en plan Bue k paa en £-Flade varierer kontinuert 

 paa Fladen, saaledes, at dens Plan aldrig er Tangentplan eller konvergerer mod en 



