39 



saadan, og naar A* indeholder 2 variable Vendepunkter, da kan disse aldrig under 

 Variationen konvergere mod en fælles Grænsestilling; og heraf følger da den vigtige 

 Sætning : 



Hver Tangentplan skærer Omegnen om Røringspunktet P i to 

 gennem P gaaende konvekse Buer. 



Var der nemlig et Vendepunkt paa en af de Buer, hvori Tangentplanen skærer 

 Omegnen om P, f. Eks. paa Buen k^ i Punktet P, saa vilde det være muligt at 

 lade et Normalsnit i P variere saaledes, at det indeholdt 2 Vendepunkter, der begge 

 konvergerede mod P, idet vedkommende Normalsnit kunde lægges gennem en Tan- 

 gent, der foruden P endnu havde 2 paa modsat Side af P beliggende Punkter 

 fælles med k^, og som under Opretholdelse heraf konvergerede mod Tangenten til 

 Å-, i P. Men dette er, som vi saa, uforeneligt med, at Fladen er en £-Flade. 



Altsaa: 



Paa en Æ-Flade er enhver Hovedtangenl en Vendetangent. 



44. Det er samtidig klart, at Fladen i en passende Omegn af P højst har 3 

 Punkter fælles med en ret Linie. Fandtes der nemlig 4 Skæringspunkter A, B, C, 

 D med en ret Linie /, saa vilde en Plan gennem / parallel med Fladenormalen i P 

 (for en pas.sende Omegn om P) skære Fladen i en sammenhængende Kurve gennem A, 

 B, C, D; men denne Kurve maatte jo saa have mindst 2 Vendepunkter paa Stræk- 

 ningen ABCD, og ved en Grænseovergang mod P vilde begge disse Vendepunkter 

 konvergere mod P, hvilket er umuligt. 



Vi har altsaa følgende Sætning : 



Om hvert Punkt paa en £-Flade lader der sig afgrænse et Flade- 

 stykke, som ikke har mere end 3 Punkter fælles med nogen ret 

 Linie. 



Hele Fladen lader sig da naturligvis inddele i en aflællelig Mængde saadanne 

 Fladestykker. 



45. Vi gaar nu over til en 

 nærmere Undersøgelse af Hoved- 

 tangentkurverne, og beviser først 

 følgende Sætning: 



Hovedtangentkurverne 

 projiceres paa xy-Planen som 

 overalt konvekse Kurver. 



En sammenhængende Bue paa 

 en Hovedtangentkurve vil nemlig 

 projiceres paa xy-Planen i en Bue 

 k, som af en vilkaarlig ret Linie / 



højst kan skæres i 2 Punkter. Var der nemlig 3 Skæringspunkter Ä, B, C (i denne 

 Orden), saa vilde de til et vist Omløb paa Buen svarende fremadgaaende Halv- 



Fig. 15. 



