40 



tangenter a, b, c (Fig. 15) skiftevis ligge paa den ene og paa den anden Side af I 

 (det Tilfælde, hvor / er Tangent i et af Punkterne, kan man aabenbart se bort fra, 

 idet man i saa Fald kan variere I paa passende Maade). Hvis nu et Punkt P be- 

 væger sig kontinuert paa Fladen saaledes, at dels Projektion paa a-y-Planen gen- 

 nemløber Linien I i Retningen ABC, saa vil ved denne Bevægelse en Halv-Hoved- 

 tangent i P efterhaanden passere Stillinger, hvis Projektioner paa xy-Planen er a, 

 b, c; men den niaa da ogsaa passere Stillinger, hvis Projektion falder paa /, een 

 Gang for en Stilling af P, hvis Projektion falder mellem A og B, en anden Gang 

 mellem B og C. Den plane Snitkurve i Fladen, hvis Projektion paa xy-Planen 

 falder paa Linien /, vilde som Følge heraf faa Vendepunkter i de nævnte 2 Stil- 

 linger af P. 



Fandtes der nu paa k et Vendepunkt, saa vilde man kunne variere Z saaledes, 

 at A, B, C, konvergerede mod samme Punkt, og de nævnte 2 Vendepunkter paa 

 Snittet gennem 1 vilde da ogsaa konvergere mod samme Grænsestilling, men dette 

 er umuligt (43). Altsaa er Hovedtangentkurvernes Projektioner overalt konvekse. 



Idet vi stadig forudsætter, at den £-Flade, vi betragter, er projiceret paa xy- 

 Planen i et konvekst endeligt Omraade Q, kan vi tilføje følgende Bemærkninger: 



Hver Hovedtangentkurves Projektion b paa xi/-Planen udgør en konveks Bue, 

 der forbinder 2 Randpunkter A, B af L' med hinanden. Den maa nemlig sammen 

 med den ene eller den anden af de to konvekse Buer AB, der hører med til Be- 

 grænsningen af i?, udgøre et konvekst Omraade. Var begge Delomraaderne nemlig 

 ukonvekse, maatte der nødvendigvis være et Vendepunkt paa b, livilket er udelukket. 



Altsaa : 



Naar Projektionen af en £-Flade udfylder et konvekst endeligt 

 Omraade iJ (saaledes at ingen Tangentplan er projicerende Plan), 

 saa vil Projektionerne af H o ved tange nik ur verne bestaa af konvekse 

 Buer, hvoraf enhver forbinder 2 Punk 1er af Begrænsningen for il 



46. For hvert indre Punkt P paa Fladen vil man, svarende til en vilkaarlig 

 given Projektionsrelning r, som ikke er parallel med Fladens Tangentplan i P, 

 kunne afgrænse et Omraade, i hvilkel P er et indre Punkt, saaledes, at Hovedlan- 

 gentkurverne inden for dette Omraade projiceres i Retningen r (paa en eller anden 

 Plan) i konvekse Buer. Heraf kan man imidlertid slutte, at hver af de to Hoved- 

 tangent kurver i P har en bestemt Oskulalionsplan, og at denne 

 Oskulationsplan falder sammen med Fladens Tan geni pi an. Thi for 

 enhver Plan gennem Kurvens Tangent i P, kan man — naar ikke netop denne 

 Plan falder sammen med Fladens Tangenlplan — afgrænse en Bue paa Kurven, 

 paa hvilken P er et indre Punkt, og som ligger paa den ene Side af Planen; dette 

 følger umiddelbart af ovenstaaende Bemærkning om Kurvens Projektion. Grænse- 

 stillingen for en Plan gennem Tangenten i P og et Punkt Q af Kurven, der kon- 

 vergerer mod P, maa altsaa nødvendigvis falde sammen med Fladens Tangentplan 

 i P, og herved er Sætningen bevist. 



