41 



Ved Betragtning af en enkelt Projektion af Hovedtangenlkurven l'olger da og- 

 saa Eksistensen af en bestemt Oskulationshalvplan, nemlig den, hvis Projektion 

 indeholder Hovedtangentkurvens Projektion (i Omegnen af P). ') 



47. Vi tager nu den Omstændighed til Hjælp, at naar 2 Punkler P og Q af 

 en Hovedtangentkurve konvergerer mod samme Grænsestilling jR paa Kurven, saa 

 vil Skæringslinien mellem Tangentplanerne i P og Q konvergere mod en bestemt 

 Retning, nemlig Tangenten til Hovedtangentkurven i R\ dette følger umiddelbart af, 

 at denne Tangent er en Hovedtangent. Derved kan vi udlede en vigtig Egenskab 

 ved Hovedtangentkurven. Vi danner en Retningskegle for Kurven, idet vi ud fra 

 et bestemt vilkaarligt valgt Punkt drager Halvlinier parallele med de til et vist 

 Omlob paa Kurven svarende Halvtangenter. Da Kurven i ethvert Punkt har en 

 bestemt Oskulationshalvplan, følger heraf, at Retningskeglen langs hver Sidelinie 

 har 2 modsat rettede Tangenthalvplaner, der tilsammen udgør en Tangentplan til 

 Keglen, og denne Tangentplan til Retningskeglen er parallel med Oskulationsplanen 

 til Hovedtangentkurven. Paa Grund af ovennævnte Egenskab angaaende konse- 

 kutive Oskulationsplaners Skæringslinie kan man derefter indse, at Retningskeglen 

 har den Egenskab, at naar 2 af dens Sidelinier konvergerer mod samme Grænse- 

 stilling s, da vil Skæringslinien mellem Tangentplanerne langs disse Sidelinier og- 

 saa konvergere mod s; men dette maa betyde, at Keglen er konveks i 

 Omegnen af s. Skærer man nemlig Keglen med en Plan, saaledes at der derved 

 i Omegnen af s opstaar en endelig Bue, der kan benyttes som Ledekurve for 

 Keglen, da kan denne intet Vendepunkt have; thi i et Vendepunkt finder altid en 

 Ophobning Sted af Punktpar med parallele Tangenter, og dette vilde for Keglen 

 betyde, at der var en Sidelinie, i Omegnen af hvilken der var en Ophobning af 

 saadanne Tangentplaner, hvis Skæringslinie ikke konvergerede mod denne Sidelinie. 

 Vi har altsaa følgende Sætning: 



Hovedtangentkurverne paa en £-Flade er overalt simple Kur- 

 ver). Hver Hovedtangentkurve har overalt Snoning til samme Side 

 (overalt højre om eller overalt venstre om). 



48. Lad nu Tangentplanen i P (Fig. 16) skære Fladen i de konvekse Buer A-j, 

 Atj, og lad / være Tangenten til /Cj i P. Den Hovedtangentkurve, som berører k^ 

 i P betegner vi med h^. Paa Tangenten t vælger vi en bestemt Halvtangent t^, og 

 paa hl afsætter vi en lille Bue PQ saaledes, at denne Bues Halvtangent i P netop 

 bliver t^; Buens Halvtangent i det andet Endepunkt Q betegnes med (/j. Da nu 

 hl (for PQ tilstrækkelig lille) er en simpel Bue i Rummet, saa vil q^ skære Osku- 

 lationshalvplanen svarende til Punktet P ai hi i et Punkt Qj, og da fremdeles /; 

 og Cl ligger paa modsat Side af Fladen {t^ er en fremadgaaende, q^ en tilbage- 



') Angaaende Oskulationshalvplanen og dens Betydning se Forf.s Darstellende Geometrie, Leipzig 1914, 



S. 224. 

 ■-) Angaaende disse Kurver se Forf.s Darstellende Geometrie, S. 219-230. 



î). K. 1). VidensU. Selsk. Skr. 7. H:uUkc, nnturvWcnsli. nji niiithem. Afd. .MI. 1. 



