43 



ikke paa Buen PA findes mere end eel indre Punkl Q, hvis Tangent gaar gennem 

 P, i hvert Fald naar A lages inden for en passende Bue PM af k^; Eksistensen af 

 2 Punkter Q vilde nemlig medføre Eksistensen af 2 Vendepunkter, og dette er 

 umuligt inden for en passende Omegn om P. Lader man nu A konvergere mod 

 P, idet det gennemløber en sammenhængende Bue paa k^, vil Linien PQ gennem- 

 løbe en omskreven Kegle med Toppunkt P, og PQ konvergerer mod samme 

 Grænsestilling som PA, altsaa mod t^. t^ regnes derfor med lil den omskrevne Kegle. 

 Langs /, faar Keglen en bestemt Tangenthalvplan, nemlig Grænsestillingen for Halv- 

 planen li{Q), hvilken aabenbart konvergerer mod den Halvplan, som begrænses 

 af /, og indeholder k^. 



Tager man den anden Bue PB paa k^ i Betragtning, faar man et lignende 

 Resultat, idet man her faar et Keglenet, som støder op til den anden Halvtangent 

 t^. De to Keglenet og deres Forlængelser ud over P vil nu aabenbart tilsammen 

 udgøre et sammenhængende fuldstændigt Keglenet, med en fuldstændig Tangentplan 

 langs Hovedtangenten (/,, t.,), idet denne Tangentplan falder sammen med Fladens 

 Tangentplan i P. Røringskurven for denne Kegle bestaar af 2 Buer, der støder 

 sammen i P, og har Halvtangenterne t^ og t^ i dette Punkt. Buerne ligger paa 

 modsat Side af Tangentplanen, medens de paa Fladen ligger i Rummene I og II 

 paa samme Side af Kurven k^. 



I Nærheden af den anden Hovedtangent faas en ganske lignende Kegleflade. 



Disse Resultater overføres meget let paa Konturbestemmelser. 



50. Hvad Klassen D, de vindskæve Flader, angaar, kan vi nøjes med et Par 

 Ord. Den ene Række af Hovedtangentkurver bliver her Fladens retlinede Frem- 

 bringere, medens den anden Række vil frembyde ganske lignende Egenskaber som 

 i det almindelige Tilfælde, hvor Fladen er en £- Flade. 



IX. Analytiske Fremstillinger af ^-Flader. 



51. Naar vi benytter den i det foregaaende angivne Opstilling i et retvinklet 

 Koordinatsystem, kan £-Fladen fremstilles ved en Ligning af Formen z = /" (æ, y), 

 hvor de partielle Differentialkvotienter af 2. Orden, r, s, I er kontinuerte og opfylder 

 Betingelsen rt — s^ < 0. Disse Betingelser er imidlertid ikke tilstrækkelige til at ud- 

 trykke, at Fladen er en £-Flade; der kræves tillige, al enhver Hovedtangent kun 

 har eet Punkt fælles med Fladen. Denne geometriske Betingelse lader sig imidlertid 

 ikke udtrykke ved nogen analytisk Betingelse, som udsiger noget om Eksistensen 

 af visse Differentialkvotienter, eller ved Relationer eller Afhængigheder mellem 

 eksisterende Differentialkvotienter af f(x,y). Den nødvendige og tilstrækkelige Be- 

 tingelse er simplest udtrykt i Definitionen selv, og vi skal ikke her beskæftige os 

 med at udtrykke den anderledes. Derimod har det Interesse at faa opstillet nogle 

 hyppig anvendelige tilstrækkelige Betingelser for at en Flade z = f {x, y), hvor 



6* 



