J5 



d-i] 

 sa:i ser man, al den ved (2) beslemte Værdi for -j-~ stadig maa have samme For- 

 tegn (Er "i = "» indfører man den reciproko Værdi, og gennemfører den tilsvarende 



Betragtning). Det viser sig altsaa, at Projektionerne af Hovedtangentkurverne er 

 overalt konvekse. 



54. Vi betragter nu del lil et vilkaarligt endeligt konvekst Omraade i2 i xy- 

 Planen svarende Fladestykke. Hovedtangentkurvcrnes Projektioner paa .ry-Planen 

 vil da udgøre konvekse Buer, der forbinder hver 2 Punkter af Begrænsningen for 

 <J (Smlgn. 45). Projektionerne af Hovedtangentkurverne danner altsaa 2 Rækker af 

 konvekse Buer, hvoraf enhver deler ß i 2 adskilte Dele; to Buer af samme System 

 har intet Punkt fælles; og to Buer af modsatte Systemer har højst eet Punkt fælles. 

 En ret Linie / i xy-Planen berører højst 2 af disse Buer; man ser nemlig straks, 

 at den ikke kan røre 2 Buer af samme System. En Plan gennem Z og vinkelret 

 paa xy-Planen skærer altsaa Fladen i en Kurve med højst 2 Vendepunkter, og 

 denne Kurve har derfor højst 4 Punkter fælles med en ret Linie. Heraf følger da, 

 at det betragtede Fladestykke højst har 4 Punkter fælles med en ret 

 Linie. Desuden kan man indse, at der omkring hvert Punkt paa Fladen kan af- 

 grænses el saadant Omraade, al man indenfor dette ikke kan finde Hovedlangenter 

 af modsal Art, hvis Projektioner paa xy-Planen er sammenfaldende, og inden for 

 del hertil svarende Omraade i æy-Planen vil der da ikke kunne findes nogen Fælles- 

 tangent til 2 Hovedtangentkurvers Projektioner; et plant Snit i Fladestykket vinkelret 

 paa .xy-Planen har da højst eet Vendepunkt og ingen ret Linie skærer Fladestykket 

 i mere end 3 Punkter. 



Naar altsaa de her omtalte Betingelser er opfyldt, vil Fladen 

 højst have 4 Punkter fælles med en ret Linie. Fladen er i Omegnen 

 om hvert indre Punkt en E-Flade. Hovedtangentkurverne er simple 

 Kurver; det ene System er Højrekurver, det andel Venstrekur ver. 



X. Sætningen om de 4 Krumninger. 



55. Lad y = f{x) være en 3 Gange differentiabel Funktion, og lad det være 



forudsal, at f"{x) = O, eftersom^x = O, medens /'"(O) ^t 0. Kurven y = f{x) har da 



i Punktet A med Abscissen a; = O et Vendepunkt (Fig. 18). Der gælder da følgende 

 Hjælpesætning I. Naar Tangenten i et Punkt B skærer Kurven paa 

 ny i et Punkt C saaledes, at naar ß konvergerer mod A, vil C ogsaa 

 konvergere mod A, da vil 



AC 



Ib ^2- 



