49 



PQ 



varierer saaledes, at P, Q, R konvergerer mod A, og „ -^ 1, da vil 

 det Punkt D paa Buen PQ, li vis Tangent er parallel med Linien, 

 dele denne Bue saaledes, at 



PQ V' 



Man viser dette ved Hjæl[) af den foregaaende Sætning, idet man gennem A 

 drager en Linie, som skærer Kurven i 7i og C (se Figuren), og benytter, at Buerne 

 AP, BQ, CR er forsvindende i Forhold til AD og DB (mere bestemt udtrykt AP : AD 

 konvergerer mod Nul), hvorved Sætningen i Virkeligheden reduceres til den fore- 

 gaaende. 



Ogsaa paa variable Kurver ;/ = f (x, /), der opfylder de i Hjælpesætning II 

 nævnte Betingelser, kan Sætningen anvendes. , 



60. I de i det foregaaende fremsatte Hjælpesætninger er der stadig Tale om 

 Tangenter parallele med visse Linier, som skærer Kurverne i Punkter, der konver- 

 gerer mod Vendepunktet. Sætningerne vil imidlertid alle vedblive at gælde, selv 

 om man i Stedet for at tage Tangenter, som er parallele med de paagældende 

 Linier, tager saadanne Tangenter, som skærer disse Linier i Punkter i endelig Af- 

 stand, naar blot disse Skæringspunkter konvergerer mod Grænsestillinger, der ikke 

 falder sammen med Vendepunktet. Dobbeltforholdet (PABC) mellem 3 Punkter A, 

 B, C paa en ret Linie, hvilke alle konvergerer mod en fælles Grænsestilling, og et 



Punkt P, der konvergerer mod en anden Grænsestilling, vil nemlig være uafhæn- 



PB 

 gigt af disse Grænsestillingers indbyrdes Beliggenhed, idet p^ i alle Tilfælde kon- 

 vergerer mod 1, naar blot, som her forudsat, P har en Grænsestilling, der er for- 

 skellig fra den fælles Grænsestilling for B og C. 



Med den her nævnte Udvidelse vil de foregaaende Hjælpesætninger have tem- 

 melig vidtgaaende Anvendelser ved almindelige Undersøgelser over Krumningsforhold 

 paa Flader. I det følgende vil vi give et Eksempel paa en saadan Anvendelse. 



61. Den Flade, vi betragter, antages at være en Z?-Flade, og vi vil yderligere 

 forudsætte, at den lader sig fremstille ved en Ligning af Formen z =^ /' [x, y), hvor 

 f{x, y) har endelige og kontinuerte Differentialkvotienter af 3. Orden (iøvr. som i 52). 



Lad P være et Punkt paa Fladen (Fig. 21) og lad Tangentplanen // i Punktet 

 være sammenfaldende med Tegneplanen ; den skærer Fladen i de konvekse Buer 

 k^ Og k.^. Den første af disse Buer har Tangenten t ï P. Vi omskriver nu Fladen 

 med en Cylinder med Frembringerretning /. Et plant Snit gennem Linien s' 

 parallel med t og -L Tegneplanen frembringer i Fladen en Snitkurve gennem de 

 Punkter A, B, C, hvor s' skærer k^ og /Cj. Dette Snit s er paa Figuren fremstillet 

 i Projektion paa en Plan parallel med s {R"A"M"B"N"C"Q"). M og N er det højeste 

 og laveste Punkt paa Buerne AB og BC, og naar s' bevæger sig kontinuert mod /, 

 vil M og N gennemløbe Børingskurven r (MPN) for den søgte omskrevne Cylinder. 



D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr. 7. R:ckke, iiaUli'vidciuk. og imlthem. Afd. XII. 1. 7 



