Introduction. 



Il est bien connu que Jaques Bernoulli ') a indiqué, pour la somme de puissances 

 (1) Smip) = 1"' + 2"- + 3"" + . . . +P'" , 



où m et p désignent des positifs entiers, une expression générale de la forme 



m ^>n{p) -,„^1 ' 2 +li; 2 Ui 4 ^■••' 



où il faut supposer ;?! 2l 2 , et où les coefficients 



(3) B, B, B, B, .... 



sont des nombres rationnels et positifs qui ne dépendent ni de m ni de /). 



Bernoulli indique aussi une méthode pour la détermination successive des 

 coefficients Bs, savoir en posant, dans (2), p ^ 1, puis introduisant 



m = 2, 3, 4, 5, 



Il saute aux yeux que cette méthode de Bernoulli nous conduira à la fois 

 aux deux formules récursives générales pour les Bg 



m 



^•-»•(ï+i')«—»--»"!^-")' 



= 

 s =^ ;i 1 



s=0 



obtenues de (2) en y posant /) = ! et in = 2n, respectivement ni = 2;!+l; c'est-à-dire 

 que ces deux formules récursives, attribuées généralement à Moivre^), respectivement 

 à Jacobi-'), doivent être désignées comme les formules récursives de Bernoulli. 



Plus tard Euler*) et Maclaurin^), en développant leur formule sonimatoire, 

 ont retrouvé les mêmes coefficients ß,. De plus, Euler") a découvert que les mêmes 



1) Ars conjectandi, p. 95-97; Bales 1713. 



") Miscellanea analytica, complementura, p. (i; Londres 1730. 



3) Journal de Grelle, t. 12, p. 265; 1834. 



*) Commentarii Acaderaiae Petropolitanae, t. 6, p. 68—97; 1738 (1732—33). 



*) A treatise on fluxions; Edimbourg 1742. 



^) Institutiones calculi differentialis, p. 539-545; Saint-Pétersbourg 1755. 



