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nombres ß«, qu'il désigne comme les nombres de Bernoulli, forment la partie 

 essentielle des series de puissances obtenues pour les fonctions trigonométriques 



méromorphes 



(5) ig^x, KCOsécj:x, 7rcot;rx, 



tandis que la série de puissances qui rej^resente 



(6) séc 7ZX 



conduira à une nouvelle suite de coefficients, savoir les positifs entiers 



(7) t,^ t,2 h^ hn ...., 

 désignés généralement comme les nombres d'EuLER. 



Or, ces belles découvertes d'EuLER ont joué un rôle fatal dans la théorie des 

 nombres de Bernoulli, parce qu'elles introduisent des considérations transcendantes, 

 étrangères à la définition parfaitement élémentaires des nombres ß«, savoir la for- 

 mule (2) ou, ce qui est la même chose, une quelconque des deux formules récur- 

 sives (4). 



En effet, en s'appuyant sur les propriétés des transcendantes élémentaires (5) 

 et (6), un grand nombre de géomètres ont trouvé, par hasard et sans introduire 

 des points de vue généraux, beaucoup de propriétés des nombres de Bernoulli, 

 particulièrement un grand nombre de formules récursives, plus ou moins intéressantes, 

 et, en suivant Laplace '), de nombreuses représentations, dites indépendantes, pour 

 les Bn et les Ê„. 



Les recherches élémentaires, très belles et très profondes, de Kramp ä) et de 

 A. v. Ettingshausen') ont été inaperçues jusqu'ici et c'est presque la même chose 

 avec les recherches analogues de Puiseux^) qui retrouvent, sous une autre forme, il 

 est vrai, les résultats de Kramp. 



Or, ces recherches élémentaires ne sont que des phénomènes isolés, évidemment 

 parce que les principes les plus simples du calcul des difi"érences finies sont parfaite- 

 ment négligés d'un point de vue scientifique, de sorte qu'ils sont occupés principale- 

 ment par des calculateurs routiniers, ce qui est très regrettable pour l'Analyse. 



De plus, la foule des formules récursives et des représentations dites indépen- 

 dantes que l'on a trouvées pour les Bn et les E„ ne sont jamais étudiées d'un point 

 de vue systématique; on ne semble pas avoir remarqué que ces formules conduiront 

 immédiatement à plusieurs propriétés des nombres en question; propriétés que l'on 

 démontre par d'autres méthodes plus compliquées. 



Nous citons par exemple que les formules récursives pour les nombres E„ 

 d'EuLER donneront sans peine les deux expressions suivantes 

 (8) E^ = 60k„-^5, £2„+i = 60Z„ + l, 



où les /r„ et les /„ désignent des entiers non négatifs, tandis qu'une formule recursive 



') Histoire de l'Académie Royale des Sciences pour l'Année 1777, p. 109 — 110, 1780. 

 '-) Hindenburg comb, analyt. Abhandlungen, t. Il, p. 353—368; Leipsic 1800. 

 ä) Vorlesungen über die höhere Mathematik, t. 1, p. 284—28.5; Vienne 1827. 

 ^) Journal de Mathématiques, t. 11, p. 177 — 488; 1846. 



