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Note sur une théorie élémentaire des nombres de Bernoulli et d'Enter'), 



Ueber die von n. Ettingshansen entdeckten verkürzten Rekursionsformeln für die Ber- 



noullischen Zahlen '^), 

 Lieber die Verallgemeinerungen der von A. r. Ettingshansen entdeckten verkürzten Rekur- 



sionsfornjeln für die Bernoullischen Zahlen '•''), 

 Elementære Beviser for Sætninger af v. Standi og Stem vedrørende de Bernonlliske 



Tal% 

 j'ai donné des applications systématiques de ma tlicorie élémentaire susdite. De 

 cette manière j'ai développé très simplement les propriétés connues des nombres 

 Bn et En, souvent sous forme des généralisations très remarquables, et un nombre 

 d'autres propriétés qui sont nouvelles. 



Il est très intéressant, ce me semble, que le point essentiel de mes recherches 

 susdites est formé par l'équation fonctionnelle 



(9) (-l)»f„(-a--l) = /„(.r), 



où fn{x) désigne un polynôme du /i-ième degré par rapport à x, savoir 



(10) f„{x) = a^x" + Oja;»-! + . . . + a„_ix + a„. 



Dans le Mémoire Sur le théorème de v. Standi et de Th. Clausen relatif aux 

 nombres de Bernonlli'^) j'ai donné des généralisations très remarquables des formules 

 particulières indiquées par Hermiik '') et Stern '). 



Enfin, dans le Mémoire Recherches sur les résidus quadratiques et sur les quotients 

 de Fermaf^) j'ai trouvé des formules générales, dont les deux cas les plus particuliers 

 sont découverts par Cauchy") et par M. Voronoï^"). 



Dans le Mémoire que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui j'ai étudié les 

 représentations dites indépendantes de fonctions de Bernoulli et d'EuLER, ce qui 

 donnera des généralisations remarquables des formules développées par Worpitzky *>). 



Quant au Mémoire de Worimizky, feu M. Saalschütz '") dit à juste titre : 



.... In diesem Sinne ist eine Abhandlung des Herrn Worpitzky beachtungswert, 

 in welcher alle Ergebnisse aus dem einen Prinzip der Umformung der Bernoulli- 

 schen Funktionen hervorgehen. Der materielle Gewinn der Abhandlung ist aller- 

 dings nicht in demselben Maasse bedeutsam, denn eine grössere Anzahl von Formeln 



') Arkiv for Mathematik, Astronomi och Fysik, t. 9, no24; 1914. 



-) Monatshefte für Mathematik und Pliysik, t. 25, p. 152—162; 1914. 



') Ibid. t. 25, p. 328-336; 1914. 



<) Nyt Tidsskrift for Matematik, t. 25; 1914. 



^) Annali di matematica (3), t. 22, p. 249—261; 1914. 



'•) Journal de Crellp, t. 81, p. 93—95; 1876. 



') Ibid. t. 84, p. 267—269; 1878. Göttinger Abhandlungen, t. 23; 1878. 



") Annales de l'École Normale, (3) t. 31, p. 161—204; 1914. 



'■'} Mémoires de l'Institut, t. 17, pp. 265-266, 442—443; 1840 (183Ü). 

 ">; Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t. 30, p. 184; 1899. 

 ") Journal de Grelle, t. 94, p. 203—232; 1883. 

 '-) Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, p. 91; Berlin 1893. 



