(U 



» = p 



(7) A.f) =^Vl)'(?)o>-/(.r-.s) = {-l)p^i-lY(P)sU'{x-p + s) , 



valables pour p > 0. 



Remarquons que J/(.v) est un polynôme entier du degré ;) — 1 par rapport 



à X, il est évident que Jp f(x) est, pour p <. n, un polynôme entier du degré n — /) 

 par rapport à x; nous aurons particulièrement 



(8) J"^-^-) = "!«o. 

 ce qui donnera par conséquent 



(9) -C/l-v) = 0, p>n. 



Quant aux expressions dPf(x), elles sont toujours des polynômes entiers du 

 degré n par rapport à x. 



Étudions particulièrement la différence 



(10) JP{x + p)" = %{x), 

 nous aurons immédiatement, en vertu de (2) 



s = p 



(11) %{-r) =^Vir(?)(-r + P-s)". 



s = 



tandis que les formules (8) et (9) donneront 



(12) X{x) = n! 



(13) %{x) = 0, p> n. 

 Soit particulièrement x = 0, nous posons pour abréger 



(14) X = 5Ç(o) ==^(-ir(^) (p-^r. 



8 = 



ce qui donnera encore 



(15) %{-p) = (-l)"+''3t;. 



Il saute aux yeux que l'on puisse donner à 2lp(x) cette autre forme plus géné- 

 rale que (11) 



(16) %{x) =^{-iy('^){x^p-s)-, m>p; 



« = o 

 car, soit m > p, les coefficients binomiaux qui figurent au second membre de (16) 

 s'évanouisent pour s >p. 

 Posons de même 



(17) dP{x+p)« = a;(x), 



D. K. n Vidensk. Selsk. Skr., 7. Række, n;ilurvi<lensk. o« mathem Afd XII 2. 9 



