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nous aurons, en vertu de (3), 



(18) A;(x) =^(P){x + p-s)r' 



s = 



OU plus généralement 



s== m 



(19) a;{x)=^(P){x+p~s), m>p; 



« = o 

 posons particulièrement 



g = 7? — - 1 



(20) a; = a;{0) =^{'s) (p - ^r , 



« = o 



nous aurons de même 



(21) A;{-p) = (-l)M^. 



L'analogie évidente des deux fonctions 3lp(.r) et Ap(x) puisse être poussée 

 beaucoup plus loin, comme nous le verrons dans les recherches suivantes. 



Revenons maintenant à la formule générale (6), nous aurons en posant x^p 

 à la place de x 



s = p 



(22) /-(x+p) =^(^)j'/(x+s), 



« = o 



formule qui est équivalente à la suivante 



g = n 



(23) f{x+p) =^{^iy'f{x + s). 



s = 



En etTet, soit p = n, les deux formules (22) et (23) coïncident; soit ensuite 

 jo < 71, les derniers /! — p termes qui figurent au second membre de (23) disparaîtront 

 à cause des coefficients binomiaux correspondants. Soit enfin p > /j , les derniers 

 p — n termes qui figurent au second membre de (22) s'évanouiront à cause des diffé- 

 rences J'f(x^s), savoir pour s>n. 



Soit maintenant m un positif entier quelconque qui satisfait à la condition 

 721 >^ n, la formule (23) peut être donnée sous cette autre forme, plus générale encore, 



(24) f{oc + p) =^(s) ^'f(^ + ») ' '" ^ n- 



8 = 



En effet, supposons m^n, les derniers ;?i — ;; termes qui figurent aux second 

 membre de (24) s'évanuiront à cause des différences J'/"(x-j-s), savoir pour s y- n. 



Il est évident que la formule générale (7) n'est pas susceptible à une généralisa- 

 tion analogue, parce que les expressions oPf{x) sont toujours des polynômes entiers 

 du degré 7! par rapport à .r, quelque soit le nombre p. 



