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II. Sur les coefficients binomiaux. 



Il est bien connu que la lactorielle du rang n 



(1) (o„(x) = x{x+l)(x-^2)...ix + n — l), n>l, 



(2) w,{x) = 1 



joue, pour l'opération J, un nMe analogue à celui de la puissance x" dans le calcul 

 différentiel, parce que nous aurons 



(3) J(On(x) = nw„^i{x), n^l. 

 Dans ce qui suit nous posons comme ordinairement 



(4) ^„(æ) = Cr" + Clx"-' + . . . + C^ æ""'' + . . . + C"' x , 



où les positifs entiers Cn sont les coefficients de factorielle du rang n, de sorte que 

 nous aurons particulièrement 



(5) C°=l. Cr^ = (n-1)! 

 Posons plus généralement 



(6) to^ix + a) =^^C^(a).-r"-\ 



nous aurons particulièrement 



(7) CS(«) = 1, C"n{a) = wn{a) 

 et en vertu de (4) 



(8) C;;(0) = C:, Q<s<n-l. 

 Considérons ensuite le coefficient binomial 



(9) ^x.>|^x(x-l)(x-2)...(a:-n+l)^ ^^^^ 



tandis (pie nous posons toujours 



(10) (s) = 1 ' 



même pour x = 0, nous aurons immédiatement 



ou, ce qui est la même chose, 



(.2) (-'t'"^') =<--'>■(«) ^ 



de plus, les formules (1) et (9) donneront 



(13, ('+r')='Tfr^ 



c'est-à-dire que nous aurons, en vertu de (3), 



