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Ell effet, nous aurons 



1 a; 1 



de sorte que la formule (21) est certainement vraie pour ;î = et /i = 1. Soit ensuite 

 n>Ll, nous aurons tout d'abord en vertu de (21) 



(22) gn(x) = l 9n-i{x)+-l['' + ;i'^), 



ce qui donnera 



i'2^) àgnix) = \ôy.-.ix)^i ("^;;-')+ 1(^^;;-'). 



Supposons maintenant, conformément à la formule (20), 

 puis appliquons l'identité 



la formule (23) montre clairement que gni^) satisfait à la condition (20). 

 Soit particulièrement x ^ 0, la formule (21) donnera 



(24) ffn(O) = 2i^, n>0, 



(25) 3«(-l) = -J+i. "^1. 



(26) 3,(-l) = \. 



Dans le paragraphe IX nous avons à développer des relations curieuses entre 

 les fonctions 51" (x), C,*(x) et f/n(x). 



III. Développements d'un polynôme entier. 



Revenons maintenant à la formule (24) du paragraphe I, savoir 



s = 7/1 



(1) fiß + P) =^{^)-i'fiß + s), m>n, 



où f{x) est un polynôme entier du degré n par rapport à x, savoir 



(2) f{x) = floX» + OiX"-! + . . . + a„^iX + Un , 



tandis que p désigne un nombre entier non négatif; je dis, que nous aurons l'identité 

 suivante, beaucoup plus générale 



« = "» . , 



(3) A^ + /9) =^(T)jY(/î + *). in^_n, 

 où X et /9 sont des variables complexes. 



