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En effet, étudions l'équation algébrique (3); elle est du degré m au plus par 

 rapport à x. Néanmoins cette équation admet, en vertu de (1), comme racine un 

 positif entier quelconque; c'est-à-dire que notre équation est une identité. 



Remplaçons maintenant, dans (3), toutes les différences qui figurent au second 

 membre par les expressions correspondantes tirées de la formule (2) du paragraphe I, 

 puis ordonnons selon les valeur f{ß^p), le coefficient de cette expression deviendra, 

 en vertu de la formule (17) du paragraphe II, 



r -=m-- p 



r = 



ce qui donnera cette autre forme de la formule {l\) 



s = m 

 s = 



Cela posé, nous aurons particulièrement 



(4+-r=r«-'>"-(î)r™i^-')(4+')'. '"i- 



ou, ce qui est la même chose, 



(5) (;Ö + a7)p =^(~1)'"- Y« j(-~'~J (/î + «*•)". '">/>• 



s= 



Posons maintenant, dans (5), 



p = n, n — 1, n — 2, . . ., 2, 1, , 

 puis multiplions respectivement par 



Co> ^1> ^'2' •••' ÖJ!-2, fln-1. 0.n 



les équations ainsi obtenues, nous aurons, en vertu de (2), 



s = m 



(6) A^'+/5) =^(-ir"*(«)(«^^^^/)A/î~^s«). '">"• 



» = 

 Changeons encore, dans (6), le signe de «, puis appliquons l'identité (11) du 

 paragraphe II, nous aurons le théorème suivant : 



I. Désignons par f{x) un polynôme entier quelconque du degré n 

 par rapport à x, par x, a et ß des variables complexes, de sorte que 

 a n'est pas égal à zéro, tandis que m est un positif entier assujetti 

 seulement à satisfaire à la condition m >^ n , nous aurons toujours 



(7) Aa^ + /Î) =^(-ir(«^'~^)(;^'")A/î~s«). m>n. 



«=o 



