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Soil particulièrement f(x) = 1, la formule (7) donnera 



, =|;'(_,,(î+;-.)(|+';), ,„>o. 



» = o 

 nuilti]ilions ensuite par /'(/î) les deux membres de (8), puis soustrayons la formule 

 ainsi obtenue de (7), nous aurons 



(9) f{x + ß)-f{ß) =^(-l)'(« "^'"J (;^^'j (/■(/? --s-«)- /-(/î)). 'n^n. 



«= 1 



Enfin, appliquons l'identité évidente 



(x+s—l\/x+m\ ^ X /iu\/.x- \ iit\ 

 \ s )\ni-s) x + s\s){ m )' 



nous aurons cette autre forme de la formule (7) 



s = m 

 s = 



Dans ce qui suit nous aurons à donner des applications très intéressantes des 

 formules que nous venons de développer. Il est évident, du reste, que ces formules 

 ne sont autre chose que des généralisations très étendues d'un cas special de la 

 formule d'interpolation de Lagrange. 



IV. Développements d'une seule puissance. 



Appliquons la fonction 



f = g 



(1) 3l."(a) = Jn« + s)" =^'(- !)'(')(« + *•-'■)". 



introduite dans les formules (10) et (11) du paragraphe I, le développement général 

 (3) du paragraphe III donnera 



sj= m 



( 2 ) (X + af =^ ( J) X («) , m>n, 



8 = 



d'où en changeant le signe de x-, puis appliquant l'identité (11) du paragraphe II 



8 = m 



(3) (x--a)« =^(-1)» »(•'■^J^^)^ii:(«), m>n. 



s = () 



Posons, dans (3), « = et m^n, la formule particulière ainsi obtenue est 

 appliquée déjà par Fermat pour déterminer les sommes de puissances 



(4) Sni],) = 1" + 2« + 3» + . . . + /)" 



pour des petites valeurs de ;i. La formule particulière en question est indiquée 



