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par Stirling') et retrouvée par beaucoup de géomètres, par exemple Kkamf^), Her- 



SCHEL^), CaUCHY*), PuISEUX^). 



Dans nos recherches suivantes nous avons liesoin d'un autre développement 

 de la puissance .r". 



A cet effet, posons pour abréger 



(5) 93r"(«) =^{-ir('" + ^)(« + p-^)», 



8 = 



où m, n et p désignent des entiers non négatifs, tandis que « est une variable com- 

 plexe; je dis que nous aurons l'identité suivante 



(6) ^("1-7') *""(«) = («+^^'- 



« = o 

 En effet, introduisons dans (6), au lieu des lî^"''(«), les expressions correspon- 

 dantes tirées de la définition (5), puis ordonnons selon les puissances {a-\-p — q)', 

 le coefficient de cette même puissance deviendra, en vertu de la formule (18) du 

 paragraphe II, 



2^(-i)f|^7')("t')-«. "><>■ 



s = 



Cela posé, il est très facile de démontrer le théorème suivant: 

 I. Soient x et a des variables complexes, tandis que hi et n 

 désignent des nombres entiers tels que 77j^n^0, nous aurons toujours 



s = m + 1 



(7) (— l)'»-»(x-a)» = y^/^'+^'J~M3^r"(«)' m>n. 



s = 



En effet, étudions l'équation algébrique (7), dont le degré par rapport à .r est 

 égal à m au plus, puis posons 



X = —p , 1 <p ^m-\-l , 



nous retrouvons toujours la formule (6). 



Dans le cas particulier ;ji = n nous posons pour abréger 



(8) 93;''"(«) = K(o^),. 

 ce qui donnera, en vertu de (5) 



e = p 



(9) æ?(«) =^Vi)' (" t^) («+/'-^)"- 



8=0 



') Methodus differentialis, p. 8; Londres 1730. 



2) Hindenburg comb, analyt. Abhandlungen t. II, p. 36Ö; Leipsic 1800. 



') Calculus of finite differences; Londres 1820. 



■") Resumes analytiques, p. 34 — 35; Turin 1833. 



-') Journal de Mathématiques, t. 11, p. 477 — 488; 1846. 



