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Soit encore a = 0, nous posons de plus 



(10) ^-y^'^o) = îb;' " , «^' "(0) = »^ , 



savoir 



» = pi 



(11) «r" =^(-i)*('"^^)(/'T''")"' 



« = 



5=_£— 1 



(12) Sp =^(-l)«("+M(p-s)»- 



s = 



Posons dans (7), a = et ;» ^ /(, la formule ainsi obtenue est due à Worpitzky'), 

 tandis qu'EiLER-) a appliqué, le premier, les nombres 33p. 

 Introduisons maintenant, dans (7), successivement 



X = 0, 1, 2, 3, ..., 



la conclusion ordinaire de q à q-\-\ donnera l'identité remarquable 



(13) "K'-v+iia) = (--\r— ':&';■ \- a) , < p < ;n + 1 , 

 OU, ce qui est la même chose, 



s = p 



(14) æ:'-p+i(«) = (-i)"'^(-i)'('" + ^)(«-/)4-5)". 



» = o 

 En effet, on voit immédiatement que la formule (13) est vraie pour /j = et 

 /)=1; supposons ensuite qu'elle soit vraie pour 

 (15) jo = 0, 1, 2, ..., q-\, 



puis posons dans (7) x^q; introduisons ensuite les expressions correspondantes 

 aux valeurs (15) de p et tirées directement de la formule (14), puis ordonnons selon 

 les expressions 



le coefficient correspondant deviendra, en vertu de la formule (18) du paragraphe II, 



r= 



ce qui nous conduira immédiatement au but. 



Soit particulièrement a = 0, nous aurons, en vertu de (13), 

 (Iß) »:■_%+! = (-1 )'»-'' 83™'", l<p<m 



et pour 771 ^ 77 



(17) «:-p+i = 33^ \<p<n, 



tandis que nous aurons particulièrement 



(18) «:a = 33;;'A = o , 77 > 0. 



>) Journal de Grelle, t. 94. p. ■_'03-232; 1883. 



■-') Institutiones calculi differentialis, p. 487— 491 ; Saint-Pétersbourg 1755. 



I). K. I). Vidensk, Selsk. Skr., 7 R.tkke. iiiiluiviilonsk og niathciii Aid. XII. 2 



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