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DEUXIEME PARTIE. 

 Sur les fonctions de Bernoulli, 



V. Les fonctions B„{x) et E„(x). 



Les fonctions de Bernoulli 



ßo(x) = 1 , 



(1) 



ßi(x) = x + 



Y' 



< 



^nW - ^-j , y(n_i)!+^ (2s)!(n-2s)! ' 



où les Br désignent les nombres de Bernovlli, sont parfaitement déterminées à l'aide 

 des deux équations fonctionnelles 



(2) B'„{x) = B„^i{x), 



(3) J Bn{x) = B„ (x) - ß„ (X - 1 ) 

 valables pour 72 > 1. 



X" 



Oî-l)!' 



(4) 



Les fonctions d'EuLER 



/io(x) 



E„{x) 



2 ' 



< 



«+1 





(—1)«-' T^.x^-g'+i 

 (2s — l)!(n — 2s + l)!22» ' 



où les T„ sont les coefficients des tangentes, sont déterminées par l'équation aux 

 différences finies 



(5) .,-,..,.- X 



dE„{x) = Ê„(x) + £;„(x— 1) = ,: 



/i > 0: 

 • m ~ 



nous aurons dans ce cas aussi 



(6) E'nix) = En^l(X) , n>l. 



De plus, nous trouvons les deux équations fonctionnelles 



(7) (— irß„(-x-I) = Bjx), 



(8) (-l)»£„(-x-l) = £„(x), 

 valables pour 71 > 0. 



Dans ce qui suit nous avons à appliquer l'identité 



(9) Enix) = 2" (/}„+! (2 ) - '^"+i('^i ^)) 

 et la formule de Raabe 



