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« / 1 \ _ R / 3 \ _ (-l) "(2""-2)ß„ 



tS2n+iy—^j — —tlin+iy— 4 j — (2n)!2*'»+2" 



„ / 1 \ _ R / ^i - 1 (-ir-H2^-2)(3^"-3)g„ 

 '^"r 6/ — ^-^"y 6 ; " 2 ■ (2/j)!62" 



Les £„ désignent les nombres d'EuLER. 



VI. Les sommes s„ {x, p) et <t„ (x, p). 

 Il est évident que les sommes de puissances 



(1) Sn{X,p) = ^ (X + S)», /l^l, 



«=0 



(2) «0 (^. p) = P' 



où la dernière définition est à appliquer même dans le cas æ ^ , sont intimement 

 liées avec les fonctions ß„(x) de Bernoulli. 



En effet, l'équation aux différences finies (3) du paragraphe V donnera immé- 

 diatement 



(3) B„{x+p-l) - Bn(x-l) = -"^^^î^f , n>l. 



Changeons ensuite le signe de x, puis appliquons l'équation fonctionelle (7) du 

 paragraphe V, nous aurons de même 



(4) BAx)-BAx-p) = ^"^^""^^'rilr^^' ^' "^^= 



posons particulièrement 



(5) s„(p) = l" + 2«+3"+...+p", s,(p)=p, 



(6) i„(p) = 1" + 3» + 5« + . . . + {2p — \)" , t„(p) = p , 

 nous aurons évidemment 



(7) Sn ip) = .S„ (1, p) = (—1 )" Sn (- p, p), /l > , 



(8) Inip) = 2"s«(2, p)' "^0- 



Quant aux fonctions d'EuLER, nous avons à étudier les sommes alternées 



(9) <7n (X, p) =^^(— l)P-'-l (X + s)« , 71 > 1 , 



(10) CT, (X, p) = y-^ . 



OÙ la dernière définition est à appliquer même pour rr = 0. 



