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(k'la posé, nous aurons cii vertu de l'éciualion aux différences finies (5) du 

 paragraplie \' 



(11) EAx^p~l)-{-l)PE„Mr-l) =^^''^^\ n>0, 



d'où en changeant le signe de x, puis appliquant l'équation fonctionnelle (8) du 

 paragraphe V, 



(12) H,, (x) -(~l)P En (X - p) = (-l)"+^~jj„(-x,p) ^ ^^ ^ ^_ 



Posons particulièrement 



(13) ^„(p) =^(-i)»(p-s)", <To(p) = ^~^^~^^^ 



s = 



nous aurons par conséquent 



(14) <7„ (p) = Tn(\,p) = i—ir+P ^^an{—p,p), n>0, 



tandis (jue les définitions 



(15) -„(/>) =^(-l)M2p-2s-l)", 



= 7,-1 



I— ( — 1)2» 



donnent de même 



(16) zn(p) ^ 2-an('^^, p), n >0. 



Remarquons encore que les deux sommes Snix, p) et <t„(x-, />) sont liées par les 

 relations 



(17) a„(x, 2p) = 2« (sn {—^ , p) - -s« ( 2 ' /') ) . 



(18) <7„(X,2jD+l) = 2«(^Sn(|. /' + l)-*n('^^^, p)) 



et que nous aurons de plus 



(19) Snix, p^q) — Snix, p) = s„(x + jo, q) , 



(20) <T„ ix, p + 7) — (— 1 )« <7„ (x, p) = ff„ (X + p, 7). 



Soit ensuite d un nombre différent de zéro, nous aurons de même 



8 = p — l 



(21) d«sn ( U , p) = ^ia-rsdr , 



(22) </" <T„ ( -J , p] ^ ^( - Ijî-^-ita + sdr , 



formules qui nous seront utiles dans nos recherches suivantes. 



Posons maintenant, dans (3) et (11), x = \, nous aurons en vertu de (7) et (14) 



(23) sn (p) = " ! (ß„+i (p) - ß«+i (0)) , 



(24) anip) = n ! {E„(p) - (— !)»>£„ (0)) , 



