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ce qui donnera la formule, indiquée déjà par Jacques Bernoulli') 



' 8 = 1 



tandis que l'expression correspondante pour an(p) qui est due à Euler^) dépend 

 de la parité de p. 



Quant aux deux sommes s„(a% p) et a„(x, p), nous avons encore à développer 

 une suite de formules remarquables. 



A cet effet, citons tout d'abord les deux développements 



r = n 



(26) Sn {X+h, p) =^ i 'l ) .SV (.V) /!"-' , 



r = 

 r = » 



(27) an (x + h , p) =^(". ) Mx) /i"-' , 



r = 



analogues à la formule binomiale. 



Posons encore dans les identités 



r = p 



jr+ifu- + p + l) =^(-l)'(''+M(A-i- + P-'-+l)-A.r)), 



r= 

 r= p 



.>+V(.r^p+l) =^(^t ^) (/(.r-Lp-r + 1) + (-\)v-rf(x)) , 



r = 



tirées directement des formules (2) et (3) du paragraphe I, /"(.r) = ßn-!-i(-v— 1) respec- 

 tivement f{x) = En{x — \), puis appliquons les équations aux différences finies 



(x -\- d)" 



JBn+l(x+p) = âEnix + p) = - ^f^, 



nous aurons pour les fonctions 



%(x) = J'ix+pf, A;{x) = o"(x+p)\ 

 introduites dans le paragraphe I, ces deux développements 



(28) %{x) =^{-iy (/»l^) s„(.v, p-r^l) , 



T=0 



r = P 



(29) 



Alix) =^(^ + l)<7„(.T,/,-r + l), 



r=0 



d'où particulièrement pour x = 



'l Ars conjectandi, p. 95—97; Bale 1713. 



-) Institutiones calculi differentialis, p. 499; Saint-Pétersbourg 1755. 



