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r ==y— 1 



(30) 31^ =^(-1/ (P+l j s„ (/,-/■) , 



r= O 

 r = p— 1 



(31) A; =^(^|M^„(/>-r). 



r = o 



Nous aurons inversement, en vertu de (28) et (29) 



(32) .s-„ {X, p hl) =^('' t M ''^^'C-^') . 



r=0 



(33) 



d'où pour X =^ 



(34) 



a„{x, p+1) =^\-ir (P+M a;_,(x-) , 



r = 



r=0 

 r=p—l 



(35) ^„ (p) =^(-1)' ( z' ^: ^] a;_, . 



r = n 



Dans le paragraphe IX nous avons à généraliser beaucoup les formules (32) et (34). 



VII. Développements de la première espèce. 



Posons dans la formule générale (9) du paragraphe 111 



f(x) = ß„(x), 

 il résulte 



s = m ^» ^ 



(1) B„(x^ß) - B„(ß) ^ V(--l)^-' ( 77 ^-'^ ' ) U ^ '" ) (fUß) - ß„(/?-s«)) , 



f~f ^ .s- ^ ;i( - .s ^ 



où il faut supposer m > n. 



Soit, en premier lieu, « égal au positif entier p, nous aurons en vertu de la 

 formule (4) du paragraphe VI 



s = m j* ^^ / '* \ 



(2) BA^+ß)-B.iß) -Yi-^r-iT^'-'M'p ^'" y^ni^fî!^ ■' 



■fr^ - s ' ^ m — .s ' 



on voit que le cas le plus simple de cette formule correspond à /5 = 0, ;?i = ;i. 



En second lieu, posons dans (1) n+l à la place de /), différentions par rapport 

 à X, puis posons x = 0, nous aurons en remplaçant ß par — x — 1, puis appliquant 

 l'équation fonctionnelle (7) du paragraphe V, la formule remarquable 



g = m 



(3) a Bn (X) =^' -^— -^' ( "^1 ) {B„+ 1 (X + (/ a) - B„+ 1 (x)) , 



où il faut supposer par conséquent m >^n-\-l. 



