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Supposons de nouveau a égal au positif entier p, nous aurons en vertu de la 

 formule (3) du paragraphe VI 



g = m 



(4, ,B.<,.., ^X^' (';) --^^ ■■ 



î = 1 



posons ensuite, dans (3), a=p-\-l, puis soustrayons (4) de la formule ainsi obtenue, 

 il résulte 



g — m 



« = l 

 La formule la plus simple de ce genre est évidemment la suivante 



obtenue de (4) en y posant jd ^ 1 et ;?i = 7J+l. 



Il saute aux yeux que les trois dernières formules générales nous conduiront 

 à un très grand nombre de représentations des Bn et des £„, si nous introduisons 

 les valeurs particulières 



,,,11213 

 a- = , X- = — 1 , •1' = — 2^ ' •^' = ~ 3 ' -^^ ^ ~ 3 ' ^ = ~ 4: ' -^ = ~ 4: ' 



— _ ^ __A 



puis appliquons les formules énumérées à la fin du paragraphe V. 



Nous nous bornerons à étudier seulement le premier des cas spéciaux susdits, 

 savoir .x- = 0. Remplaçons encore n par 2n, nous aurons, en vertu de (4) 



g = m 



(7) pBn =^^=Y^( 9 ) '^n(pq) , 



où il faut supposer m ~?^2;i+l. La formule la plus simple de ce genre, savoir 



ï = 2n+l 



est due à Kroneckeh '). 



Quant aux fonctions d'EuLER, nous obtenons des résultats analogues aux pré- 

 cédents que nous venons de développer pour les fonctions de Bernoulli. 



En effet, posons dans (4) et (5), /i+l au lieu de ;i et 



X X — 1 



T' "^~ 



à la place de x, puis soustrayons les deux équations ainsi obtenues, il résultent les 

 formules suivantes 



Journal de Grelle, t. i)4, p. 268- 2(i9; 1883. 



