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(1) 



(2) 



8 = 



S = m 



(x-ar =^(-ir-'(^+;~^)«(«) 



où il faut supposer /?!>«; je dis, que nous obtenons les deux développements 

 suivants pour les fonctions de Bernoulli 



(3) 



(4) 



S — m 



n\{Bn+iix + a) - ß„+i(a-l)) = ^ ('iXÎ) '•'^"^«^ ' 



« = o 



n ! {B„+^ (x-a) - ß„+i(-«)) =^(-ir*( J^ j) 5[f («). 



s = n 



En effet, l'opération J nous conduira de (3) et (4) aux formules (1) et (2) 

 respectivement. Posons ensuite, dans (3) et (4), x = 0, la formule (4) donnera une 

 identité évidente, tandis que nous aurons, en vertu de (3), 



/j!(ß„+i(«) — ß„+i («-!)) = Xia) = a", 



ce qui est une conséquence immédiate de l'équation aux différences finies qui 

 figure dans la définition des fonctions de Bernoulli, savoir la formule (3) du para- 

 graphe V. 



Quant aux applications de (3) et (4), nous posons tout d'abord .r— p à la place 

 de X, où p désigne un positif entier; soustrayons ensuite les équations ainsi obtenues, 

 nous aurons respectivement 



(•^) 



(6) 



S = ?» 



s = 



s = m 



.s„(.v-« + l, p) =^{—l) 



s = 



ce qui donnera pour a = 0, m = n 



„) M.+..p)=j:[('t^^v(î-M)i"'' 



,8, ».(.r+1, p) -X(-l.-[(-^tf + '')-('+;)Jsi". 



d'où, pour X = 0, les formules les plus simples de ce genre 



