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(9) 

 (10) 



'^^p^-TiUD'^- 



Ä = n 



•^•"(P)-^(-l)"i(rîO-(.s.fl)]^^'"- 



La formule (9) est démontrée dans toute sa généralité [)ar Kiîami> '), tandis que 

 Fermat a appliqué des cas particuliers tie la formule en question pour déterminer 

 les premiers des sommes s„(/)). Plusel'x^) a développé la formule générale (7) sans 

 connaître évidemment ni la formule de Khamp ni la formule plus ancienne encore 

 tirée de (1) en y posant a = 0. 



Posons encore, dans (5), x = — a, puis introduisons x à la place de a, nous 

 aurons la formule curieuse 



(11) 



'■'"'^rK^iTi -(;.-•;■) 



5C(x), 



tandis que la formule (6) donnera, pour x^a, le résultat analogue 



(V2) 



T^-^r-[(^Ut')'(-:u) 



Snip) = 7 (-1) 



9(;'(.r). 



Quant aux fonctions de Bernoulli, nous aurons, en vertu de (3) et (4), si nous 

 posons a = 0, puis remplaçons m par n 



(13) 



(14) 



;, ! (/.Vi (X-) - ß„+i (-1)) -^[^iX l) ''" ' 



= n 



n! (ß„+i(x) - ß„+i(0)) =^(-1)"-^ ^A^\) ''^" ' 



formules qui sont dues à Worpitzsky-'); il est évident du reste que la formule (13) 

 est une généralisation de la formule (9) de Kramp. Néanmoins, la formule de 

 WoRPiTZKY est une conséquence immédiate de celle de Kramp, parce que cette 

 dernière formule est valable pour une valeur quelconque du positif entier p. 



Dififérentions maintenant par rapport à x" les deux formules (3) et (4), il en 

 résulte 



(1.-)) 

 (16) 



n! ß„(x- + a) =^^^^ [(•',' tj) he («) , 



g = n 



n!B„(x-«) =^(-l)"-"ox[(î^î) '^"(«•' = 



') Hindenburg comb, analyt. Abhandlungen, t. Il, p. .SßS; Leipsic 1800. 

 -I Journal de Mathématiques, t. Il, p. 477 -488; 1846. 

 ■') Journal de Grelle, t. 94, p. 20:i— 232; 1883. 



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