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posons ensuite x = 0, puis mettons x à la place de a , nous aurons 



(17) n ! B,{x) = 9Io" i^) +^ ^"(^+1) '^"^"^^ ' 



8 = n 



(18) /» ! g„ (- x) ^ ^ ^ ^ ^" ' ?t; (g;). 



8 = 



Posons encore, dans (16), a'^1, et soit 

 nous aurons cette autre formule 



s = n 



(20) Bn{l-x) ^^{-lr^À,+,X'{x). 



s=0 



Posons, dans (18), x = 0, puis introduisons 2n à la place de n, il résulte la 

 formule très connue 



»=2re 

 s = 1 



Dans ces jours mêmes M. Kaj Lochte Jensen, un de mes jeunes élèves à 

 l'Université, m'a communiqué une autre demonstration de cette formule particulière. 



De plus, M. Lochte Jensen, en prenant pour point de départ la formule en 

 question, a donné une démonstration très simple et nouvelle, je le crois, du célèbre 

 théorème de v. Staudt et de Th. Clausen relatif aux nombres de Bernoulli, savoir 

 la formule (2) du paragraphe XI. 



Quant aux fonctions £„(x) d'EuLER, nous introduisons, dans (3) et (4), ,v — ^ 

 à la place de x, ce qui donnera, en vertu de l'équation fonctionelle (9) du para- 

 graphe V, les développements suivants 



X{a), 

 1 



(2.) p-'^+^'-MnD-i^th 



« = s -|- 1 J 



g = n 



(22) ^£„(2.a— 2«) =^(-l)"-"[(j4:f) - (■^■ + '"" 2)] ?[;(«) ; 



X 



posons ensuite « = 0, puis remplaçons x par ^ , nous aurons des développements 

 ■pour E„{x). 



D'autres expressions de ce genre peuvent être obtenues par le procédé suivant : 



X 



Posons, dans (21), æ = 0, puis remplaçons a par , nous aurons 



s—n 1 



(23) "l£„(x) = 5ir (I) - y ( y ) ^K ( J) , 



