2i) 81 



X -^ 1 

 tandis que rii\ potlu'se .i- = — 1 donnera, si nous remplaçons encore « |)ar — ^ — , 



cette autre l'ornuile de ce genre 



(24) 



S=: -^ i ^ 



Quant à la forniule (22), posons en premier lieu x ^ ^ , puis remplaçons 



X 



a par -^ , nous aurons, en vertu de l'équation fonctionnelle (8) du paragraphe V, 



g = n J 



(25) '^„EAx) = §(r(| ) +^(-i)f' ~ 2") ^'i; ( •^■). 



s = •'* ^ 1 



En second lieu, posons .r = 0, puis remplaçons « par .^ , le même procédé 

 donnera le résultat analogue 



£ = n ^ 



(26) ^£;(x-) =^i-iy^'['--2)%.^{^'^p). 



8 = ^ V t 



Il est évident du reste que l'on puisse déduire un très grande nombre d'autres 

 formules de ce genre ; cependant nous nous bornerons aux formules précédentes, qui 

 sont les plus simples. 



Introduisons maintenant, dans les formules que nous venons de développer, 

 les valeurs spéciales de .i' qui figurent dans les formules énumérées à la fin du 

 paragraphe V, nous aurons évidemment un très grand nombre de représentations, 

 dites indépendantes, pour les ß„, /i„ et Tn- 



Or, ces formules ne représentent qu'un intérêt très médiocre, parce qu'elles 

 ne donnent aucun résultat d'un intérêt véritable pour les nombres en question; c'est 

 pourquoi nous nous bornerons à ces indications. 



On sait que Worpitzky') a développé un grand nombre des formules de ce genre, 

 sans connaître évidemment le grand Mémoire très-intéressant de van den Berg"^). 



»' 



(1) 



IX. Développements de la troisième espèce. 



Étudions maintenant la forniule 



tirée directement des définitions (6) et (13) du paragraphe II, et la formule (3) du 

 paragraphe IV, savoir 



(2) (X- 



S = n 



') Journal de Grelle, t. 94, p. 203-232; 1883. 



'-) Verslagen en mededeelingen der koninlijke Akademie Amsterdam (2) t. 16, p. 74-176; 1881. 



