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nous aurons immédiatement 



s = n 

 (3) g„ (X+a) =^^^^^ ^n(«) £n-.(a-) , 



«=0 

 i = n 



(4) n ! £„ (æ - a) =^(-l)«-^g, (æ) 51," (a) , 



où (/„(a-) est la fonction définie et étudiée dans le paragraphe II. 



En effet, l'opération â nous conduira de (3) et (4) à (1) et (2) respectivement, 

 et l'opération inverse de â détermine parfaitement le polynôme en question. 



II est évident que les deux formules (3) et (4) nous donnent plusieurs relations 

 curieuses. 



En j)remier lieu, posons dans (3) a = , nous aurons 



(5) 



n ! g„ (x) =y^ (;i — .s) ! Cn Ens (x) , 



tandis que l'hypothèse x = donnera, si nous remplaçons .r au lieu de 



^2~ 



(6) 



" ! Unix) = "2 ("nix) +^^ -^2,:^ Ts+1 Cn ^ ^ (x) , 



s = 



d'où particulièrement pour æ = 



^ n—l 



= ~2~ 



(7) n! =^^(— l)«2«-2»-ic„"-^-ir,+i. 



» = 



Soit maintenant n égal au nombre premier p, nous aurons 

 CP-2«~i == (mod p), 1 < s < ^^ , 



Cr'=(P-l)!. C;' = l, 7\ = 1, 



ce qui donnera, en vertu de (7), si nous posons p = 2;; -j- 1 



= 2P-Hp-l)l + (-l)»7;+i (mod p) ; 



appliquons ensuite les théorèmes de Fermat et de Wilson, il résulte finalement la 

 congruence bien connue 



(8) r„+i ^ (—1)« (mod p), p = 2/j+l , 



que nous aurons à généraliser beaucoup dans le paragraphe XIII. 

 En second lieu, posons dans (4) a ^ 0, nous aurons 



» = n 



(9) nlEnix) =^ {-!)-' îi:: g Ax) , 



s = 1 



tandis que l'hypothèse x = — 1 donnera, en vertu des formules (21) du paragraphe II 

 et (8) du paragraphe V, 



