31 «;5 



»=n 



00) 



n\E„ix) = I 5to" ix) ^ ^^S^ ^'U" (x). 



s = l 



Posons encore, dans (3), a- = — « — 1, puis appliquons l'équation fonctionnelle 

 (8) du paragraphe V, nous aurons en mettant x à la place de u 



(11) ^~giV"' -=^(-iy(n-s)\CUx)E„^s(x), 



ce qui est une généralisation de la formule (7). 



En troisième lieu, posons dans (4) a = x, nous aurons ces deux autres formules 

 curieuses 



» = 2n 



(12) ^(- !)«(/, (a-) 9lf (x) = 0, 



« = o 



» = 2n+l 



(13) ^(-l)»3.(.r)5(f +^x) = ^J^ 



dont la dernière donnera pour .v = 



« = 2m+1 



8 =_an-t-i 



(14) r^+i =^(-1)«- 



X. Développements de la quatrième espèce. 



Nous avons encore à étudier la formule (7) du paragraphe IV, savoir 



(1) (-l)»-" (.r - «)« =^ (■^' "^„' ~ ^ ) '^^' " («) • '" -^- " ' 

 formule qui nous conduira immédiatement à cette autre 



(2) (-1)'« "«! (iJ„+i(.r-«) - ß„+,(-«)) -f {-ira" =^(;;'; + i) '^"'' "(«) = 



car l'opération J donnera de nouveau la formule (1), et nous aurons de plus 



pour X = 



(-1)»«» = »^+1(«), 



ce qui est une conséquence immédiate de la formule (14) du paragraphe IV, si 

 nous posons p = 0. 



Soit particulièrement, dans (2), « = 0, nous aurons 



(3) (_!)»-« „ ! (/}„,, (.V) -. /}„,, (0)) -^ij„\\ ) a^r " . 



s= 1 



formule dont le cas ;?i = ;i appartient à Worpitzky ')• 



») Journal de Grelle, t. 94, p. 203-232; 1883. 



