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Posons maintenant, dans la formule fondamentale (2), .T + a4-p, puis .r + a à 

 la place de x, où p désigne un positif entier; nous aurons en soustraj^ant les deux 

 formules ainsi obtenues 



8 = m-i-l 



(4) 



(- 





ce qui donnera, pour .r = 0, la formule curieuse 



s = m+ 1 



(6) (-i)",.w -Z[{"t'+t'] - ( ;;:tO] *•"■"« ■ 



d'où, pour X ^=0, m^ n 



a= n 



(6) *"(p)=^(;;ii')*"' 



formule qui est analogue à celle de Kramp, savoir la formule (9) du paragraphe VIII. 

 Dilférentions encore par rapport à x la formule fondamentale (2), nous aurons 



C!) 



S = w-f- 1 



«;'•"(«), 



d'où en posant .v = — 1, puis mettant .r à la place de a et appliquant l'équation 

 fonctionnelle (7) du paragraphe V 



(8) 



nlBnix) = ;™+i»(r"(.v) 



» ^ -in 



-I 



s=0 



{—\ys\{in—s)\ 

 ("' + !)! 



83;îrw, 



où nous avons pose pour abréger 



1,11 



^' = T+2 + 3+---+,' 9>1. 



Posons encore, dans (7), .r = 0, puis remplaçons « par x'-|-l, nous aurons de 

 même la formule analogue 



(9) 



/,!ß„(x) = /,„+iSB;M(a:+l)+^ ^ \m+")! '^' ^'"'''(•^ + ^> 



s = o 



Quant aux fonctions d'EuLER, nous introduisons, dans la formule fondamentale 



(2), X — -^ à la place de x; soustrayons ensuite les deux formules ainsi obtenues, 



l'équation fonctionnelle (9) du paragraphe V donnera immédiatement le développe- 

 ment cherché 



s = m+ l 1 



(10) 



2» 



■£„(2æ-2«) 



■(;rV.)-('+^"0 



L \ I / ^ ;;i ■ 1 ' 



93r"(«). 



a; 



Pour obtenir des formules simples nous posons, en premier lieu, dans (10), 

 — - et ^ à la place de «, ce qui donnera 



