[iS 85 



s = o /Jl -(- 1 ' 



posons ensuite .1=0 et ' — ^ — à la place de u, nous aurons de même 



(12) ^^^ÇP^Z^Ma-) = 33.V.(:^) -T -^-2 )«r»(:^M. 



Introduisons encore, dans (10), .v = « et posons 2;j — 1 à la place de ;!, nous 

 aurons la formule curieuse 



(.3) t^ 





7^0 ' ' ^ m+1 



Remplaçons, dans les formules générales que nous venons de développer, .v par 

 les valeurs spéciales qui figurent dans les formules énumérées à la fin du para- 

 grape V, nous trouvons un très grand nombre de représentations, dites indépen- 

 dantes, pour les Bn, £« et T«. 



On sait que Worpitzky') a développé beaucoup de ces formules; cependant, 

 les formules en question ne présentent qu'un intérêt médiocre; c'est pourquoi nous 

 nous bornerons à citer seulement les deux formules suivantes 



s = m— 1 



(14) Bn = ^ TTVi ^«+1 ' m>2n, 



-^rf ("ï-rl)! ~ 



s = 

 s = m , 1 . 



(15) fcï'ï"« = y('~ 2)s8r-"-\ n,>2n-l, 



frf m + 1'^ 

 obtenues de (8) et (13) en y posant x = Ü, puis remplaçant, dans (S), /! par 2n. 



TROISIÈME PARTIE. 

 Applications sur la théorie des nombres. 



XI. Sur le théorème de Fermat. 



Soit p un nombre premier impair, tel que p — 1 est diviseur du nombre pair 

 2/!, nous disons pour abréger que le nombre premier p soit du rang n. 



Désignons ensuite par m un positif entier quelconque, il est évident qu'un 

 nombre premier du rang n est du rang ;ii/7 aussi; le nombre premier 3 est par 

 conséquent d'un rang quelconque. 



') Journal de Grelle, t. 94, p. 203 232 ; 1883. 



D. K. D. Vldensk. Selsk.Skr., 7. Række, nalurvldensk. og niathcni. At'd. .\II. 2. 12 



