86 34 



Soit, au contraire, donné le nombre pair 2n, Tensemble des nombres premiers 

 du rang n 



(1) Å,Å,Å,....Å, 



est parfaitement déterminé. 



Ces définitions adoptées, le théorème de v. Staudt ') et de Th. Clausen -) donnera 

 pour le /i-ième nombre de Bernoulli, Bn, une expression de la forme 



(2) (-l)«ü„ = A„+y + ~- + ^ + ....+^, 



où An est un nombre entier. 

 Posons ensuite 



(3) Bn = -K^ , 



où la fraction qui figure au second membre est supposée irréductible, nous aurons 

 par conséquent, en vertu de (2), 



(4) b„ = À^ Å2 A3 Å^. 



Dans ce qui suit nous désignons pour abréger le nombre Z'„ ainsi défini comme 

 le dénominateur bernoullien du rang n. 

 Sylvester') a démontré que l'expression 



a^»(a-» — !)£;> 

 2n 

 est toujours un nombre entier, pourvu que a le soit, théorème que je viens de 

 simplifier*). 



Soit maintenant p un nombre premier qui n'est pas du rang ;), mais qui est 

 diviseur de n, et soit p* la puissance la plus élevée de p qui divise n ; nous désignons 

 par a une racine primitive de la congruence de Fermat 



xP-i — 1 = (mod p). 



Cela posé, le produit 



a^ia^n — 1) 



ne peut pas être divisible par p, de sorte que nous aurons, en vertu de (3), 



(5) a„ = (mod p»). 

 Écrivons ensuite 



//»\ ^n ^n C» 



^' 2n~ïiiK~dû' 



où la dernière fraction doit être irréductible, tous les nombres premiers impairs qui 



divisent d„ sont par conséquent du rang ;j. 



') Journal de Grelle, t. 21, p. 372^374; 1840. 



-) Astronomische Nachrichten, t. 17, col. 351 — 352; 1840. 



') Philosophical Magazine, février ISül. 



*) Recherches sur les nombres de Bernoulli p. 350 (681; 1913. 



