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Ce théorème est dû à v. Staudt ') aussi. 



Il est très interessant, ce me semble, que le dénominateur bernoullien du rang n 

 nous permet de généraliser le théorème de Fermat, savoir la congruence 



(7) a{(iP-^—l)^0 (modp), 



où p désigne un nombre premier, a un entier quelconque. 



En effet, nous aurons immédiatement le théorème suivant : 



I. Soient a et n des positifs entiers quelconques, tandis que fc„ 

 désigne le dénominateur bernoullien du rang n, nous aurons toujours 



(8) a(a-" — 1) = (mod /)„). 



Cela posé, nous avons à étudier une expression de la forme 



(9) 



^, as a", 



où m est un positif entier fixe, quel que soit ;; ; désignons ensuite par r et fx des 

 positifs entiers quelconques, nous aurons immédiatement, en vertu de (7), 



8 = r s = 7n 



(10) ^{-lr(l)sin + 2s;. =^asa:{\-a^f')\ 



S^O 8=0 



ce qui donnera, en vertu de I, cette autre théorème, fondamental dans nos recher- 

 ches suivantes: 



II. Soit, dans (9), tous les a, et les a» des nombres entiers qui ne 

 dépendent pas de ;!, et soit / le positif entier le plus grand qui 

 satisfait aux deux conditions 



(11) Å<n, Å<r, 



tandis que bp. désigne le dénominateur bernoullien du rang «, les 

 nombres ß„ satisfont aux congruences 



(12) ^(-lf(^l)sin + 2s!. = (mod />;!). 



s =0 



Considérons par exemple les trois nombres 



a = m 



VI," =^(-1)* (^ ) (9 - S)" , m> q, 



8 = 



g = m 



ri 

 (-l)'('" + ^)(9-*)" 



» = o 



') De numeris Bernoullianis coraraentatio altera; Erlangue 1845. 



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