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que nous venons d'étudier et d'appliquer dans les paragraphes précédents, nous 

 aurons par conséquent les congruences 



« = r 



(13) 



(14) 



(15) 



Kç =^(-l)'(s) •^''■'''' ^ (mod fcj) , 



s = 

 g = r 



<, =^(-l)'(s) ^"^^''^ ^ (mod b^) , 

 « = o 



C;, =^(-l)'(;)33r"^''" = (mod b^), 



valables quel que soit q. 



Dans ce qui suit nous avons à appliquer d'autres résultats tirés directement 

 de l'identité (10). 



En efl'et, soient a et /) deux positifs entiers sans diviseur commun, et soit p 

 un nombre premier du rang n, qui ne divise pas b, nous aurons 



l((f)"-')'- 



+1 ^ a(a^" — l) — a{b^"~l), 



et le second membre de cette formule est par conséquent divisible par p. Dans ce 

 cas nous écrivons simplement 



(16) 



l{(hT-^)'^^ ^™°'^/"' 



Cette définition adoptée, nous aurons, en vertu de (10), cet autre théorème: 

 III. Soient, dans la définition (9), tous les a, et les Os des fractions 

 irréductibles, dont tous les dénominateurs sont premiers au nombre 

 premier p du rang /jl, nous aurons, avec la définition (11) du nombre /, 



(17) ^(-1)'(;')S" + '^'' - {modp^ 



s = 



Dans nos recherches suivantes nous avons à appliquer d'autres formes des 

 congruences (12) et (17). 



A cet effet, posons pour abréger 



s = r 



(18) «„, , =^^(-l)'(.s) ^"+2»/^ ' 



s= 

 8 = r 



(19) ß„,, =^{-ir{l)co^-''"Sin + 2..u, 



nous avons tout d'abord à démontrer les deux identités suivantes 



