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« = r 



(20) ßn.t =-^{~\y{^\(w^"-iran + 2>,.,r-,, 



i= T 



(21) an,r =y_ l^] (cu'" — iy ßn + 2.i/ji,r-s- 



« = 



Pour démontrer la formule (20) nous introduisons dans le terme somniatoire 

 qui figure au second membre de (19) 



'Is f 

 (O 



'^ = [(0,^^-1) + 1]^ =^( ')(-'"- 1)^ = 



K =0 



ordonons ensuite selon les puissances {w^f- — 1)^ puis appliquons l'identité évidente 



(:)(■:)-(:)(;=:)■ 



nous aurons la formule (20). 



Quant à la formule inverse (21), nous multiplions le terme sommatoire qui 

 figure au second membre de (IS) par 



et le même procédé que dans le cas précédent nous conduira à la formule (21). 

 Cela posé, nous aurons immédiatement les deux théorèmes suivants: 



IV. Supposons remplies les conditions énumerées dans le théo- 

 rème II, puis supposons que o) soit un positif entier premier au déno- 

 minateur b'ernoullien du rang fi, les deux congruences 



(22) «„ , = (mod bfi^) , 



(23) ßn,r = O (mod b,/) 

 s o n't é q u a 1 e n t e s, 



V. Supposons remplies les conditions exigées par la formule (17), 

 puis désignons par w une fraction irréductible, dont ni le numérateur 

 ni Iç dénominateur n'est divisible par le nombre premiei- p, les deux 

 congruences 



(24) «„, , = (mod p^) , 



(25) ßv. r = (mod p^) 

 sont équivalentes. 



Dans ce qui suit nous avons besoin de quelques autres résultats tirés des 

 congruences (12) et (17j. 



A cet effet, posons pour abréger 



(26) h,{x) = x{x — \)...{x — q-\-\), h„{x) = \ , 



(27) 



£ = f 



