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les identités évidentes 



où il faut supposer 0<s<r — 1, et 



{n + 2r/u — q) h, {n -^ 2r//) = /i,+i (n + 2r«) , 

 donnent, quel que soit q, pour les Ag, , la formule recursive 



(28) (n + 2rfi-q)A,,r-2r/:iA,,r~i = A,+,,r. 



Cela posé, la conclusion ordinaire de q à ç pi donnera, en vertu de (12) et (17), 

 la congruence plus générale 



(29) ^(-1)' ( ',) (" \^'^) ß»+ 2»/. ^ (mod JD^-«) , 

 « = o 



où p désigne un nombre premier du rang fj , et où il faut supposer à la fois 



q < Å et q <p. 



XII. Applications sur les fonctions de Bernoulli. 



Pour donner une application intéressante des théorèmes généraux que nous 

 venons de démontrer, nous prenons pour point de départ une quelconque des deux 

 formules (14) du paragraphe VIII ou (3) du paragraphe X, savoir 



s = m 



Cl) n!(ß„+i(x)-ß„+i(0)) =^(-l)""(^" + j)c m>n. 



S= 1 



(2) »! (B„+i(x) - ß„+i(0)) = (-1)".-» •^(;;|t'S) »r" , ni > n , 



« = 1 

 qui correspond à 



(3) x = ~j, 



où a et ;- désignent des positifs entiers sans diviseur commun. 



Désignons tout d'abord par /• un positif entier quelconque, puis posons 



(4) [-^r] =±^, 



(1"-) 



où la fraction qui figure au second membre doit être irréductible; je dis, que le 

 dénominateur B ne peut contenir d'autres facteurs premiers que ceux qui divisent ;-. 

 En effet, nous aurons en vertu de (4), 



A ±«(±«-r)(±«-2r) ••• (±«-('— Dr) 



(^^ ±ß= H? = 



