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soit ensuite p un nombre premier égal à r au plus, qui ne divise |)as ;-, tandis 

 que /)« est une puissance de p qui divise /!; nous posons 



r = a/)»-f /), a>l, 0<5<p»— 1. 

 Cela posé, il est évident que la factorielle r! contient précisément, comme fac- 

 teurs, les (i multiples suixanls de p*î: 



p», 2pi, 3p», . . ., ap«. 

 l-^ludions maintenant l'équation indéterminé du premier degré 



— 7-a:±a = pUj , 

 elle admet des solutions entières de x et ;/, parce que ;- et /j« sont sans diviseur 

 commun. Soit x\ la valeur de .r qui satisfait à la condition 



0<x^ <p* — 1 , 

 une valeur quelconque de x se présente sous la forme 



a; ^ cCj + spi , 

 où s désigne un nombre entier; c'est-à-dire que le numérateur de la fraction qui 

 figure au second membre de (5) contient précisément comme facteurs les a multiples 



suivants de pi: 



±a — r{Xi+spi), <s<a—l. 



Ces résultats obtenus, il est évident que la puissance p« disparaîtra dans la 

 fraction irréductible, de sorte que B ne peut contenir d'autres facteurs premiers 

 que ceux qui divisent y- 



Cela posé, nous aurons le théorème suivant: 



I. Désignons par a et ;- deux positifs entiers sans diviseur com- 

 mun, par p un nombre premier du rang,«, qui ne divise pas ;- , et par n 

 et r des positifs entiers quelconques, les nombres rationnels 



(6) 8„ = n ! (ßn+i (- ^) - Bn+i (0)) 

 satisfont aux congruences 



3 = T 



(7) y^(-lf(',)2„ + -isß ^ {moà p^), 



» = o 



où /. est le plus grand positif entier qui satisfait aux deux conditions 



(8) Å<r, Å<^n. 



En effet, prenons par exemple pour point de départ la formule (1), nous aurons 

 une expression de la forme 



8= m 



(9) a„ =^ /.-.(a, r) X , m > n. 



«=i 

 où les k,{a,r) désignent des fractions irréductibles, dont les dénominateurs ne con- 

 tiennent d'autres facteurs premiers que ceux qui divisent y. 



