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Posons ensuite, comme dans la formule (13) du paragraphe XI, 



K s =^(-1)^ ( ',) 'K"-'""' ^ (mod p^) , 



v = 



nous aurons, en vertu de (9), 



(10) ^(-'^y ('s) ^« + 2«/^ = ^k,{a, r) 3^, . , 



où le positif entier quelconque m est à déterminer de sorte que 



m >^ n~['2 r/j , 

 ce qui donnera immédiatement la formule (7). 



Posons maintenant, dans (6) et (9), -^- puis — ^^ a la place de «, puis sou- 

 strayons les deux équations ainsi obtenues, nous aurons 



8 = 7» 



(11) /i!£„(-4) =^^/,(«, r)3(r, m>n, 



s — l 



où les ls{a,y) sont des fractions irréductibles, dont les dénominateurs ne contiennent 

 que de tels facteurs premiers qui divisent 2^. 



Cela posé, nous aurons le théorème suivant, analogue à I : 

 II. Supposons remplies les conditions indiquées dans le théo- 

 rème I, les nombres rationnels 



(12) ü'n = n!£„(-4) 

 satisfont aux congruences 



(13) 



^{—\)'[[)üU-2sß = Ü (mod jA 



« = o 



Il est digne de remarque, ce me semble, que l'expression (6), savoir 



Sn = n!^ß„+i(--^)-ß„+i(0)], 



joue un rôle fondamental dans mes recherches sur les résidus quadratiques. 



En etfet, soit p = 2;j+l un nombre premier impair, et soit a un entier tel que 

 \<^a<^p — 1; je désigne par R{a) et /(a) les nombres des résidus respectivement 

 des non-résidus de p, qui se trouvent parmi les nombres 



1, 2, 3 , a. 



Ces définitions adoptées, j'ai trouvé 



(14) R{a) — I{a) == ;i! 



*-(-f) 



ß„+i -- -ß„+i(0) 



= Sin (mod p) , 



