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où il faut supposer 



(15) ;-a + « = p. l^«^a — 1- 



c'est-à-dire que la roniiule (9) donnera une représentation indépendante de la 



différence 



R{a)-I{a). 



De plus, soient R„,b et I„.b les nombres des résidus respectivement des non- 

 résitius de p, qui se trouvent parmi les termes de la série arithmétique 



b, /' + a , /j -{- 2a , . . . . , b-\-qa, 

 où il faut admettre 



b-\-qa ' p , ^ f^b ^a , 

 j'ai trouvé de même 



^''+'(-a)~^"^'{-'hr) 



(mod p) , 



(16) Ra.b — h.h = n!<'" 



où il faut supposer 



/) + aq + c = /), 0<;c^a — 1. 



Cela posé, il est évident que 



Ra. h — h. h 



n'est autre chose que la différence de deux expressions S?„, multipliée par r/". 



XIII. Sur les nombres E„ et T». 



Il est évident que les deux théorèmes généraux démontrés dans le paragraphe 

 précédent, combinés avec les formules numériques énoncées à la fin du paragraphe V, 

 nous conduiront à plusieurs cas particuliers très intéressants. 



Kn premier lieu, posons dans la formule (7) du paragraphe XII 



« = 1, ;- = 2 

 et introduisons 2/i — 1 à la place de ;;, nous aurons 



_ (-i)"r„ 



ce qui donnera, en vertu du théorème \\ du paragraphe XI, 



8 = r 



(1) ^\-iy[l)Tn + s.u ^ (^ (modb,/), 



s = 



où bß désigne le dénominateur bernoullien du rang «, tandis que / est à déterminer 

 comme le positif entier le plus grand qui satisfait aux deux conditions 



(2) /<2/i — 1, /,_</•. 



Remplaçons, dans (1), le module bß par le nombre p = 2«-}"l. supposé premier, 

 la congruence ainsi obtenue est due à Stern '). 



') Journal de Grelle, t. 88, p. 91; 1880. 

 Ü. K. ». Vidensk. Selsk. Skr., 7. Række, natuniilensk. oiî nuitlicm. Afd XII. i. l.S 



