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En second lieu, posons dans la même formule générale 



« = 1 , r = 4 , 

 puis posons 2;i à la place de 7i, nous aurons 



a62n 24n + 2 ' 



ce qui donnera, en vertu du théorème IV du paragraphe XI, 



(3) ^{-IY + ^''[1)e„ + ,^ ^ (mod V), 



s = 



où il faut supposer à la fois 



(4) / < 2n, Å < r. 



Remplaçons, dans (3), le module hy- par le nomhre /; = 2«+l, supposé premier, 

 la congruence ainsi obtenue est due à Kimmkh '). 



Appliquons maintenant la congruence (29) du paragraphe XI, nous aurons, en 

 vertu de (1) et (3), 



(5) X^-ir^"(:)("V''')^---^" i..n^p^-^,, 



«=o 



(6) 2^(-'^r'"('s)i"V')En.s.^0 (modp^-), 



où p désigne un nombre premier du rang /^, et où il faut supposer q < Å et q < p. 

 Soit encore, dans (1) et (3), r = l, nous aurons particulièrement 



(7) En+fi ^ {—ir-En (mod b/.) , 



(8) Tn+ß = {~ïTTn (mod M, 

 d'où pour n = 1. 



(9) T/i+i = Eß + i = (-1F (mod h,x). 



La dernière congruence qui correspond au nombre T,x + \ est due à feu M. 

 Saalschütz "). 



Remarquons en passant que les deux formules très connues 



s = ?t 



Ä = n 



22''+2^2„+i("i) = (2/n+l)2"+i + ^(-1)' (^"pj"^) r,(2m+l)2n-2»+i— (— l)"' + T„+i, 



s = 1 



OÙ m et n désignent des positifs entiers quelconques, nous conduiront sans peine 

 aux deux congruences (1) et (4). 



') Journal de Grelle, t. 41, p. .372; 1851. 



'•') Vorlesungen über die Bernoullischen Zalilen, p. Ifi.'i; Berlin 1893. 



