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Ell elTel, nous aurons iuimédiatement 



(10) 2--^"+'ff.2„(;n) = (— !)"£•„ (mod 2m 4-1) , 



(11) 22'' + 2ff2„+i(m) ^ (-1)» + « i7'„+i (mod 2/»+l), 



ce ((ui nous conduira au hul, si nous posons 



2;,i+l = b,/. 



Nous avons encore à appli([uer la congruence (10) pour déduire une propriété 

 nouvelle de nombres d'EiLi'.is. 



A cet effet, posons conformément à la formule (10) du paragraphe VI 



s ^m 



l-(— 1)'" = 2^0 (m) = 2-^(-l)"'-», 



8=1 



nous aurons, en vertu de (10), 



8 = m 



(12) 1 — (—!)'» — ( -1)"£„ ^ 2 • ^(— 1)"'-'(1 — (2s)^") (mod 2n!+l). 



s = 1 



Cela posé, divisons en deux parties l'ensemhle des nombres premiers du rang n 



/. År, /g .... Ay , 



savoir 



/l A-2 /s .... /a , 



/l Å2 ^3 ■ • • • ^r ' 

 OÙ nous avons toujours 



;„ = 4o 4- 1 , 1 < s < «T , 



;." = 4a + 3 , 1 < s < r ; 



c'est-à-dire que nous aurons (t-\-z^v. 

 Posons ensuite pour abréger 



j kn = ^-1 ^'2 Ås .... Åa , 

 (la) I " " ." " 



[ In — /i /a /s ..../,- , 



nous aurons par conséquent 



(14) knln = /'„, 



oïl /)„ désigne le dénominateur bernoullien du rang n. 

 Introduisons, dans (12), 



(15) 2m + 1 = b„; 



désignons ensuite par p un nombre premier du rang n, et posons 



(16) bn = p-q. 

 nous aurons évidemment 



b„-l _ q~l I p — l . 



'" = — is— = P 



L 

 2 ' 2 



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