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c'esl-à-dire que l'eiisenibU' 



1, 2, 3, ...., HI 



contient précisément les multiples suivants de p: 



p, Ip, dp, ...., ^^-j-p- 



Cela posé, nous aurons en vertu de (12) 



«-1 



1 — (— 1)»' — (— l)«Zs„ E= 2 • y (— 1)"'-« (mod p), 



« = i 

 ou, ce qui est la même chose 



(17) . i_(_i)™_(_i)n/s„ ^ (_l)»-i2.^„(i^-^j (mod/,). 



Soit maintenant, en premier lieu, 



/)„ = 4« -|- 1 , /)( = 2a , 



les deux nombres p et q seront en même temps de la forme 4r-f 1 ou 4r-|-3; c'est- 

 à-dire que nous aurons 



ce' qui donnera, en vertu de (17), 



I £„ = (mod p), p = 4;' f 1 , 



^^^^ I £„^(-l)»2 (modp), /j=^4r-h3. 



Soit maintenant, en second lieu, 



fc„ = 4a-|-3, ;j! = 2a + l, 



les deux nombres /J + 2 et 7 seront en même temps de la l'orme 4f j-l ou 4r^ 3, 

 ce qui donnera en vertu de (17) 



2-{~irE„ ^ 2<To(^J-) (mod p); 



c'est-à-dire que les deux congruences (18) sont valables dans ce cas aussi. 



Cela posé, nous avons démontré le théorème suivant, nouveau je le crois: 

 I. Soient />„ et /„ les deux facteurs complémentaires du dénomina- 

 teur bernoullien du rang n, définis par les expressions (13), les nombres 

 d'EuLER satisfont aux congruences 



(19) En= (mod A-„) , 



(20) £„= (— 1)»2 (mod /„). 



Soit particulièrement p = 2»-f 1 un nombre premier, nous aurons pour ;; pair, 

 savoir n = 2ni, 



(21) Eim = (mod p), p = 4;»+l , 

 tandis que l'hypothèse n = 2ni-|-l donnera 



(22) E-im+i = —2 (mod p) , p = 4;» - 3. 



