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Ces deux congruences spéciales sont iiiditiuées par M. Ei.v ')• 

 Il saute aux yeux que notre méthode générale est en défaut quand il s'agit de 

 déterminer les exposants A' et K' dans les congruences 



(23) 



(24) 



S = r 



8 = 



s = r 



^(-ir-"- ('■) i;„ + .^ ^ (mod 2«'). 



! = 



Appliquons la formule très connue 



7',^+i = 2*»'(2./„,+l), m>0, 

 où Çm^O désigne un nombre entier, nous aurons toujours, quels que soient r et fi, 



(25) 



£= r 



_^(-ir (j) T.n + ,„.+, = (mod 2*") ; 



soit particulièrement « = 1, nous aurons en vertu de la congruence (1), et en remar- 

 quant que le nombre premier 5 est du rang 2, 



(26) 



^Vir(s) ï'.« + 2.+i = (mod lU^), 



où il faut supposer à la fois / < r < 4n. 



Stern -) a essayé, le premier, à déterminer les exposants A' et A" qui figurent 

 dans les congruences (23) et (24) qui correspondent à // =2; cependant, il applique 

 des series divergentes, et il est très curieux, ce me semble, que cette ancienne 

 méthode à conduit, dans ce cas, à des résultats parfaitement faux. 



Feu M. Saalschitz^) a observé que le résultat susdit de Stekn relatif aux 

 coefficients des tangentes est inexact. Néanmoins, M. P. Bachmann^), dans sons beau 

 Livre sur la théorie des nombres, donne le développement de Stern, sans des 

 reservations quelconques. Il me ne semble pas sur que M. Bachmann") a détourné 

 les difficultés en question, dans sa Note récente. 



De plus, il est une conséquence immédiate des recherches récentes de MM. 

 Frobemus") et Haissner'), que le résultat de Stern relatif aux nombres d'EuLER 

 est faux aussi. 



') American Journal of Mathematics, t, 5, p. 341 ; 1880. 



«) Journal de Grelle, t. 79, p. 67—98; 1875. 



') Vorlesungen über die Benioullischen Zahlen, p. I(i4; Berlin 1893. 



■*) Niedere 2ahlentheorie, t. Il, p. 40; Leipsic 1910. 



*) Grunert Archiv (3i, t. 16, p. 363—365; 1910. 



«) Berliner Berichte, 1910, p. 809-847. 



■) Berichte der königlich sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, t. 62, p. 386— 418; 1910. 



