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XIV. Sur la congruence de Kummer. 



Introduisons maintenant, dans la t'orniuie fondamentale (7) du paragraphe XII, 

 2;i — 1 à la place de n, puis posons successivement 



a = 0, 1, 2, 3, r-l, 



nous aurons, en ajoutant toutes les congruences ainsi obtenues, et en appliquant 

 ensuite la formule de Kummeu, savoir 



s= -j 1 



8 = 



citée comme la formule (10) du paragraphe V, 



s = ^ ' 



rmule (10) du paragraphe V, 



s = 



OÙ il faut supposer à la fois 



(2) ;, <2n— 1, ;. <^r, 



tandis que p est un nombre premier du rang fi, qui ne divise pas le positif entier ;'. 

 Appliquons maintenant le théorème IV du paragraphe XI, la congruence (1) se 

 transforme dans celle-ci 



(3) XC-D'^'KO'^ÏW^^^*^ ^'""'^'^- 

 Posons pour abréger 



tandis que o„, r désigne le premier membre de (3), la formule (20) du paragraphe XI 

 donnera l'identité 



(5) dn,r = (r'"-l)«n,,-|-r" •^(-1)''-' (^'j (r""!)'«,, + ,^, r-.- 



Supposons ensuite que le nombre premier p du rang a ne soit pas du rang n 

 aussi, et désignons par 7- une racine primitive de la congruence de Fermat 



x-P-i — 1 ^ (mod p) , 



la différence y"^^ — 1 qui figure au second membre de (5), comme coefficient de «„, r 

 ne peut jamais être divisible par p. 



De plus, soit conformément à la formule (6) du paragraphe XI 



(O) == -j , 



2n-i-2s^ "n + Sß 



OÙ la fraction qui figure au second membre est supposée irréductible, nous savons, 

 en vertu du théorème de v. Staudt mentionné dans le paragraphe XI, que le déno- 

 minateur rf„^_5„ ne peut jamais être divibible par />. 



