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Ola |ios{\ introduisons dans (5) successivement 



r = 1, 2, 3, 4, ..... 

 la conclusion ordinaire de /■ à r + l donnera immédiatement la congruence 



s = r 



(7) ^(-ir-^ (J) ,f-^,^ ^ (mod p^) , 



où il faut supposer à la fois 



(8) /:^2;i--l, Å<r; 



le cas particulier /) = 2/i4^1 est précisément la congruence de Kummeu '). 



Appliquons maintenant la formule (29) du paragraphe XI, nous aurons, avec 

 la définition (8) de l'exposant / , 



s = r 



(9) ^i-\y^'"([]Bn + ef, ^ (mod ]>'-') 

 et plus généralement 



■9 = r 



(10) ^(~^y'"'{l)("\''^)Bn + s^^O (mod/,^-^-1), 



«= 



où il faut supposer à la fois q</ — 1 et q < p; ces deux dernières formules sem- 

 blent être nouvelles. Il est évident que la congruence (9) est analogue aux con- 

 gruences (1) et (3) du paragraphe XIII pour les T„ et les E„. 



Posons particulièrement, dans (7), /j = 2^^1, /■ = 1, nous aurons 



iiBn + f, = (-ir{n+/^)B„ (mod p) , 

 ou, ce qui est la même chose, 



(11) 2/iß™ + ;, = (— l)''-'(2n-l)ß„ (modjD); 



soit ensuite /z = 2m + l, savoir p = 47Jî-|-3, nous aurons, en posant dans (11), 

 n ^ m-f- 1, la congruence intéressante 



(12) Bsm + o = Bm + i (mod/)), /) = 4hi+3. 



Revenons maintenant à la formule générale (7); nous avons supposé que le 

 nombre premier p du rang ti ne soit pas du rang n aussi. Or, cette condition 

 suffisante n'est pas nécessaire pour l'existence d'une congruence de la forme (7); 

 mais l'exposant / de p n'est naturellement pas déterminé par les conditions (8). 



En effet, prenons pour point de départ la somme de puissances 

 S2„(a) = 12« 4- 2^» + 32» + . . . . + «2» , 



nous aurons 



u — n ' _ 1 



') Journal de Grelle, t 41, p. 3G8— 372; 1851. 



