l(»(t 48 



soil ensuite p un nombre premier du rnng //, et soit encore a < p—\, nous aurons 

 par conséquent, quel que soit le positif entier ;i, 



v= r 



(13) ^(-l)'(;;)s2« + 2v^(«) ^ (mod/^O. 



1/ = 11 



Or, nous aurons, en vertu de la formule (25) du paragraphe VI, 

 S2» (P -1) - 2/n+ï ^ +^ 2m - 2s -h 1 l 2.s- j ^^P 



s = l 



ce qui nous conduira à la congruence 



(14) %»(/»— 1) = (-l)'"-ißm/^ (mod /J"), 



où il faut supposer JO ^ 5, m ^ 1. 

 En effet, nous aurons toujours 



^P" = (mod p-') , 



pourvu que p > 5, 9^3. Il est évident que le cas le plus désavantageux est celui 

 où p est du rang r et où q est en même temps divisible par p. Soit p" la puissance 

 la plus élevée de p qui divise q, le dénominateur de la fraction 



q ' 



considérée comme étant irréductible, est dans ce cas divisible précisément par /3«+i. 

 Nous avons par conséquent à démontrer que 



(/ — 3 > a. 



Or, nous aurons évidemment 



q>p'' = {l^(p-l)Y>l+a(p-\), 



ce (jui donnera pour /j>5, a>l 



g — 3^4« — 2 > 2«>a. 



Cela posé, nous aurons en vertu de (13) et (14), pourvu que r >i2, 



s = r 



( 1 r^) ^i- 1 y + '''■ (;:) ß„ +.;.-- (mod p). 



»=0 



Supposons maintenant, dans (13), n = 0, nous avons 



«o(p — 1) = p— 1. 

 ce qui donnera, en vertu de (14), 



(16) 1-1^ y^(-l)' + -"YlV.a (mod/)). 



