49 lui 



Il est évident que le terme 



\ 



P 

 disparaîtra dans les formules (15) et (16) 



Je n'ai pas réussi à démontrer que le premier terme de (lô) est divisible par 

 une puissance plus élevée de p. 



Il est très intéressant, ce me semble, que les congruences que nous venons de 

 démontrer jouent un rôle important dans la théorie des résidus quadratiques et des 

 quotients de Fermat. 



XV. Remarques historiques et critiques. 



Il est bien connu que l'on a fait des objections graves contre la démonstration 

 que Ki'MMER a donnée pour son cas particulier de la congruence (7) du paragraphe XIV. 



En efïet, on a reproché à l'illustre géomètre allemand qu'il a appliqué des 

 séries infinies d'une façon illégitime. 



Or, le point de départ de Kummer est une série infinie de la forme 



(1) ' /-(x) =^„„(e«-_e/î-), a^ß, 



série qu'il faut transformer dans une série de puissances, savoir 



(2) f{x) = Ao + Ai.r + A2.T2 + ...+A„a;»+... 



Supposons maintenant que la série de puissances HanX^ ait un rayon de con- 

 vergence plus grand que zéro, il existe par conséquent un nombre positif p, tel que 

 la série (1) est uniformément convergente pour x^p; car la fonction continue 



a, dans x = 0, un zéro précisément de l'ordre n. 

 Appliquons ensuite l'identité 



s = n 



« = o 

 puis posons pour abréger 



s ^ n 



(3) X{a. ß) =^{-\f iA {(ii-s) a + sßY , 



« = o 

 nous avons par conséquent 



(4) X{a,ß) = 0, i<n, 

 ce qui donnera 



r = X 



^x'. 



r = ?i 



D. K. D. Videiisk. Selsk. Skr.. 7. Ra-kke. n:ilur\îdensli. oj; mnthem. Ahl. \U. 2. 1^ 



